已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在點處取得極小值-5.其導函數(shù) 的圖象經(jīng)過點.(Ⅰ)求a.b的值, (Ⅱ)求x0及函數(shù)f(x)的表達式. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c．

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x=1時有極值且在函數(shù)圖像上的點(0，1)處的切線與直線3x+y=0平行，求f(x)的解析式；

(Ⅱ)當f(x)在x∈(0，1)取得極大值且在x∈(1，2)取得極小值時，設點M(b-2，a+1)所在平面區(qū)域為S，經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1：3的兩部分，求直線L的方程．

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已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象經(jīng)過原點，且在x=1處取得極值，直線y=2x+3到曲線y=f(x)在原點處的切線所成的角為45°.

（1）求f(x)的解析式；

(2)若對于任意實數(shù)α和β恒有不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m成立，求m的最小值.

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已知函數(shù)f(x)=
-x3+ax2+bx，(x＜1)
c(ex-1-1)，(x≥1)
在x=0，x=
2
3
處取到極值
（Ⅰ）當c=e時，方程
f(x)
x
=k恰有三個實根，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點A，B使得
OA
•
OB
=0（O為坐標原點），且線段AB的中點在y軸上，求實數(shù)c的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－2處取得極值，并且它的圖象與直線y＝－3x＋3在點(1，0)處相切，則函數(shù)f(x)的表達式為________．

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已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx＋c的圖象為曲線E．

(1)若函數(shù)f(x)在x＝－1和x＝3時取得極值，求a、b的值；

(2)若曲線E上存在點P，使曲線E在P點處的切線與x軸平行，求a、b滿足的關系式；

(3)在(1)的條件下，當x∈[－2，6]時，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范圍．

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一．選擇題：

1．B  2．D  2．B  3．C   4．C　5． A  6．C   7．B  8．A  9．D  10．D

 

二．填空題：

11．a+b  12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1  14． 15．120º   16．②④

三．解答題：

17．由題設，得，，，雙曲線為，  …… 2分

直線AB的方程為 ，               ………………………  4分

代入到雙曲線方程得：4x2+20ax-29a2=0，           ………………………   6分

又，由得：

12=，                         ………………………  9分

解得a2=1，則b2=3，所以為所求�！�  12分

18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x2+2ax+b，           ………………………  2分

   ∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）

∴                              ………………………  5分

解之得：a=－3，b=0                             ………………………  7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0；      ………………………  9分

∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（-∞0）,上遞增,在(0,2)上遞減,      

因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，            ………………………  12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x3－3x2－1                               ………………………  14分

19．：解法一：

 (Ⅰ) 過P作MN∥B1C1，分別交A1B1、D1C1于M、N，則M、N A1B1、D1C1的中點，連MB，NC由四邊形BCNM是平行四邊形，             ………………………  2分

∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB

又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。               ………………………  4分

(Ⅱ)  過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，

∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角，  ………… 6分

設AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。             ………… 9分

（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC                                 ………… 12分

所以k=。

反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心                     ………… 14分

解法二：（建立空間坐標系）

 

 

 

 

 

 

20．解  (Ⅰ)由=3在[a ，b]上為減函數(shù)，

   得   可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求區(qū)間是[?1，1]．  ………… 5分

 

    (Ⅱ)取1 = 1 ， 2 = 10，可得()不是減函數(shù)；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數(shù)，所以()不是閉函數(shù)．         ………… 10分

(Ⅲ)設函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a ，b]，則

故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于

有兩個不等實根．            ………… 13分

當k時，解得：，∴ ；

當時，這時無解．

所以 k的取值范圍是．                          ………… 16分

 

 

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以

        x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2               ………… 3分

對一切實數(shù)x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

對由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x．                      ………… 7分

(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an    (1)

令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分

∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0

    (a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=

＜=b1-bn+1＜b1＜1。                    ………… 14分

 （本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

參考答案

一．選擇題：

1．B  2．D  2．B  3．C   4．C　5． A  6．C   7．B  8．A  9．D  10．D

 

二．填空題：

11．a+b  12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1  14． 15．120º   16．②④

三．解答題：

17．由題設，得，，，雙曲線為，  …… 2分

直線AB的方程為，                   ………………………  4分

代入到雙曲線方程得：，       ………………………   6分

又，由得：

，                         ………………………  9分

解得，則，所以為所求�！�  12分

18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x2+2ax+b，           ………………………  2分

   ∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）

∴                              ………………………  5分

解之得：a=－3，b=0                             ………………………  7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0；      ………………………  9分

∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（－∞，0）,上遞增,在(0,2)上遞減,      

因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，            ………………………  12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x3－3x2－1                               ………………………  14分

19．：解法一：

 (Ⅰ) 過P作MN∥B1C1，分別交A1B1、D1C1于M、N，則M、N A1B1、D1C1的中點，連MB，NC由四邊形BCNM是平行四邊形，             ………………………  2分

∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB

又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。               ………………………  4分

(Ⅱ)  過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，

∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角，  ………… 6分

設AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。             ………… 9分

（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC                                 ………… 12分

所以k=。

反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心                     ………… 14分

解法二：（建立空間坐標系）

 

 

 

 

 

 

20．解  (Ⅰ)由=3在[a ，b]上為減函數(shù)，

   得   可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求區(qū)間是[?1，1]．  ………… 5分

 

    (Ⅱ)取1 = 1 ， 2 = 10，可得()不是減函數(shù)；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數(shù)，所以()不是閉函數(shù)．         ………… 10分

(Ⅲ)設函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a ，b]，則

故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于

有兩個不等實根．            ………… 13分

當k時，解得：，∴ ；

當時，這時無解．

所以 k的取值范圍是．                          ………… 16分

 

 

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以

        x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2               ………… 3分

對一切實數(shù)x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

對由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x．                      ………… 7分

(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an    (1)

令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分

∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0

    (a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=

＜=b1-bn+1＜b1＜1。                    ………… 14分

 （本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）

 

 

 


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