Question

已知函數f(x)=x³+ax²+bx+c．

(Ⅰ)若函數f(x)在x=1時有極值且在函數圖像上的點(0，1)處的切線與直線3x+y=0平行，求f(x)的解析式；

(Ⅱ)當f(x)在x∈(0，1)取得極大值且在x∈(1，2)取得極小值時，設點M(b-2，a+1)所在平面區(qū)域為S，經過原點的直線L將S分為面積比為1：3的兩部分，求直線L的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)由f′(x)=2x²+2ax+b，函數f(x)在x=1時有極值，

∴2a+b+2=0    ∵f(0)=1    ∴c=1

又∵f(x)在(0，1)處的切線與直線3x+y=0平行,

∴f′(0)=b=-3  故a=

∴f(x)=x³+x²-3x+1

(Ⅱ)解法一：由f′(x)=2x²+2ax+b及f(x)在x∈(0，1)取得極大值且在x∈(1，2)取得極小值，

∴即令M(x,y),則

∴ ∴故點M所在平面區(qū)域S為如

圖△ABC，易得A(-2，0)，B(-2，-1)，C(2，-2)，D(0，-1)，E(0，)，S_△ABC=2

同時DE為△ABC的中位線，S_△DEC=S_{四邊形ABED}

∴所求一條直線L的方程為：x=0

另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1：3的兩部分，設直線L方程為y=kx，它與AC、BC分別交于F、G，

則k＞0,S_{四邊形DEGF}=1

由得點F的橫坐標為：x_F=

由得點G的橫坐標為：x_G=

∴S_{四邊形DEGF}=S_△OGE-S_△OFD.

=

即16k²+2k-5=0  解得：k=或k=(舍去)

故這時直線方程為：y=x

綜上，所求直線方程為：x=0或y=x．

解法二：由f′(x)=2x²+2ax+b及f(x)在x∈(0，1)取得極大值且在x∈(1，2)取得極小值，

∴即  令M(x,y),則

∴   ∴故點M所在平面區(qū)域S為如圖△ABC，易得A(-2，0)，B(-2，-1)，C(2，-2)，D(0，-1)，E(0，)，S_△ABC=2

同時DE為△ABC的中位線，S_△DEC=S_{四邊形ABED}

∴所求一條直線L的方程為：x=0

另一種情況由于直線BD方程為：y=x，設直線BO與AC交于H，

由得直線L與AC交點為：H(-1，)

∵S_△ABC=2，S_△DEC=×2=，

S_△ABH=S_△ABO-S_△AOH=×2×1-×2×=

∴所求直線方程為：x=0或y=x