因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增.在區(qū)間上單調(diào)遞減. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)函數(shù)

(I)求的單調(diào)區(qū)間;

(II)當(dāng)0<a<2時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

【解析】第一問定義域?yàn)檎鏀?shù)大于零,得到.                            

,則,所以,得到結(jié)論。

第二問中, ().

.                          

因?yàn)?<a<2,所以,.令 可得

對(duì)參數(shù)討論的得到最值。

所以函數(shù)上為減函數(shù),在上為增函數(shù).

(I)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">.           ………………………1分

.                            

,則,所以.  ……………………3分          

因?yàn)槎x域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">,所以.                            

,則,所以

因?yàn)槎x域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">,所以.          ………………………5分

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

單調(diào)遞減區(qū)間為.                         ………………………7分

(II) ().

.                          

因?yàn)?<a<2,所以,.令 可得.…………9分

所以函數(shù)上為減函數(shù),在上為增函數(shù).

①當(dāng),即時(shí),            

在區(qū)間上,上為減函數(shù),在上為增函數(shù).

所以.         ………………………10分  

②當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上為減函數(shù).

所以.               

綜上所述,當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),

 

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設(shè)函數(shù)

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ) 若上的最大值為,求的值.

【解析】第一問中利用函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2),.

當(dāng)a=1時(shí),所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);

第二問中,利用當(dāng)時(shí), >0, 即上單調(diào)遞增,故上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.

解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2),.

(1)當(dāng)時(shí),所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);

(2)當(dāng)時(shí), >0, 即上單調(diào)遞增,故上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.

 

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如圖,,,…,,…是曲線上的點(diǎn),,,…,,…是軸正半軸上的點(diǎn),且,,…,,… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形(為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)寫出、之間的等量關(guān)系,以及之間的等量關(guān)系;

(2)求證:);

(3)設(shè),對(duì)所有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】第一問利用有得到

第二問證明:①當(dāng)時(shí),可求得,命題成立;②假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即有則當(dāng)時(shí),由歸納假設(shè)及,

第三問 

.………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最大為,即

解:(1)依題意,有,………………4分

(2)證明:①當(dāng)時(shí),可求得,命題成立; ……………2分

②假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即有,……………………1分

則當(dāng)時(shí),由歸納假設(shè)及,

解得不合題意,舍去)

即當(dāng)時(shí),命題成立.  …………………………………………4分

綜上所述,對(duì)所有.    ……………………………1分

(3) 

.………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最大為,即

.……………2分

由題意,有. 所以,

 

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已知函數(shù)處取得極值2.

⑴ 求函數(shù)的解析式;

⑵ 若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)

又f(x)在x=1處取得極值2,所以

所以

第二問中,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131543901356936_ST.files/image008.png">,又f(x)的定義域是R,所以由,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則有,得

解:⑴ 求導(dǎo),又f(x)在x=1處取得極值2,所以,即,所以…………6分

⑵ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131543901356936_ST.files/image008.png">,又f(x)的定義域是R,所以由,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則有,得,                …………9分

當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞減,則有 

                                                …………12分

.綜上所述,當(dāng)時(shí),f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞減;則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

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已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值; 

(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;

(Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說明理由.

【解析】第一問當(dāng)時(shí),,則。

依題意得:,即    解得

第二問當(dāng)時(shí),,令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則。

依題意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①當(dāng)時(shí),,令

當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:

0

0

+

0

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

,,!上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0;

當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增!最大值為

綜上,當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為2;

當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為

(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè),則,顯然

是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

,則代入(*)式得:

,而此方程無解,因此。此時(shí),

代入(*)式得:    即   (**)

 ,則

上單調(diào)遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對(duì)于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

因此,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

 

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