題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分12分)如圖,橢圓C方程為 (),點為橢圓C的左、右頂點。
(1)若橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3,最小值為1,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與(1)中所述橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左、右頂點),且滿足,求證:直線過定點,并求出該點的坐標(biāo)。
(本題滿分12分)如圖,橢圓C方程為 (),點為橢圓C的左、右頂點。
(1)若橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3,最小值為1,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與(1)中所述橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左、右頂點),且滿足,求證:直線過定點,并求出該點的坐標(biāo)。
(本題滿分12分)如圖,過橢圓的左焦點作x軸的垂線交橢圓于點P,點A和點B分別為橢圓的右頂點和上頂點,OP∥AB.
(1)求橢圓的離心率e(2)過右焦點作一條弦QR,使QR⊥AB.若△的面積為,求橢圓的方程.
(本題滿分12分)如圖,在平面直坐標(biāo)系中,已知橢圓,經(jīng)過點,其中e為橢圓的離心率.且橢圓與直線 有且只有一個交點。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)不經(jīng)過原點的直線與橢圓相交與A,B兩點,第一象限內(nèi)的點在橢圓上,直線平分線段,求:當(dāng)的面積取得最大值時直線的方程。
一、選擇題
1.D. 2.A. 3.B. 4.C. 5.B. 6.A.
7.C. 8.D. 9.D. 10.C. 11.B. 12.B.
二、填空題:
13.. 14.5. 15.或. 16.②.
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.
17.本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力.滿分12分.
.
,
,
即時,f(x)單調(diào)遞增.
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[,].
18.(1)記“編號的和為”的事件,事件所包含的基本事件為、、、、,共5個, ∴
(2)記“甲贏”為事件,事件所包含的基本事件為、、、、、、、、、、、、,共13個, ∴,
19.本題主要考查空間幾何體的直觀圖、三視圖,空間線面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識;考查空間想像能力及推理論證能力.滿分12分.
(Ⅰ)如圖
俯視圖
(Ⅱ)所求多面體的體積
.
(Ⅲ)證明:如圖,在長方體中,連接,則∥.
因為E,G分別為的中點,
所以∥,從而∥.
又,所以∥平面EFG.
20. 本題主要考查等差數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識;考查推理論證與運算求解能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分12分.
(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則
解得.
因此,an=-1+2(n-1)=2n-3.
(Ⅱ)由已知 (1)得,
當(dāng)n≥2時, (2).
由(1)-(2)得,
所以,又,
故.
在式(1)中,令n=1得,,
又,故.
所以.
21.本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分12分.
(Ⅰ)由題設(shè)b=,c=2,從而a2=b2+c2=6,
所以橢圓C的方程為.
(Ⅱ)假設(shè)斜率為k的直線l與橢圓C交于A、B兩點,使得∠AOB為銳角,
設(shè)直線l的方程為y=k(x - 2).
所以滿足題意的的直線l存在,斜率k的取值范圍為
方法二: 同方法一得到.
所以滿足題意的的直線l存在,斜率k的取值范圍為
22.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力及數(shù)形結(jié)合思想.滿分14分.
(Ⅰ),由得,
,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
.
當(dāng)時,;
當(dāng)時,;
時,.
所以的單調(diào)增區(qū)間是;的單調(diào)減區(qū)間是.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且當(dāng)或時,.
所以的極大值為,極小值為.
又因為,
.
當(dāng)且僅當(dāng),直線與的圖象有三個交點.
所以,的取值范圍為.
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