題目列表(包括答案和解析)
設(shè)拋物線:(>0)的焦點為,準(zhǔn)線為,為上一點,已知以為圓心,為半徑的圓交于,兩點.
(Ⅰ)若,的面積為,求的值及圓的方程;
(Ⅱ)若,,三點在同一條直線上,直線與平行,且與只有一個公共點,求坐標(biāo)原點到,距離的比值.
【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力.
【解析】設(shè)準(zhǔn)線于軸的焦點為E,圓F的半徑為,
則|FE|=,=,E是BD的中點,
(Ⅰ) ∵,∴=,|BD|=,
設(shè)A(,),根據(jù)拋物線定義得,|FA|=,
∵的面積為,∴===,解得=2,
∴F(0,1), FA|=, ∴圓F的方程為:;
(Ⅱ) 解析1∵,,三點在同一條直線上, ∴是圓的直徑,,
由拋物線定義知,∴,∴的斜率為或-,
∴直線的方程為:,∴原點到直線的距離=,
設(shè)直線的方程為:,代入得,,
∵與只有一個公共點, ∴=,∴,
∴直線的方程為:,∴原點到直線的距離=,
∴坐標(biāo)原點到,距離的比值為3.
解析2由對稱性設(shè),則
點關(guān)于點對稱得:
得:,直線
切點
直線
坐標(biāo)原點到距離的比值為
過拋物線的對稱軸上的定點,作直線與拋物線相交于兩點.
(I)試證明兩點的縱坐標(biāo)之積為定值;
(II)若點是定直線上的任一點,試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系,并給出證明.
【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
(1)中證明:設(shè)下證之:設(shè)直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韋達定理得
(2)中:因為三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之
設(shè)點N(-m,n),則直線AN的斜率KAN=,直線BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
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