解:(1)由已知及拋物線的定義可得:
=1,即p=2,所以拋物線C的方程為:y
2=4x(4分)
(2)設(shè)
(t>0),則M(t
2,2t),F(xiàn)(1,0).
因為M、F、N共線,則有k
FM=k
NF,(6分)
所以
,解得
,(8分)
所以
,(10分)
因而,直線MN的方程是
.(11分)
(3)“逆向問題”一:
①已知拋物線C:y
2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線交拋物線C于P、Q兩點,
設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R,則直線RQ必過定點
.(13分)
證明:設(shè)過F的直線為y=k(x
),P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),則R(x
1,-y
1)
由
得
,
所以
,(14分)
,(15分)
=k
RA,(16分)
所以直線RQ必過焦點A.(17分)
②過點
的直線交拋物線C于P、Q兩點,F(xiàn)P與拋物線交于另一點R,則RQ垂直于x軸.
③已知拋物線C:y
2=2px(p>0),過點B(m,0)(m>0)的直線交拋物線C于P、Q兩點,設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R,則直線RQ必過定點A(-m,0).
“逆向問題”二:已知橢圓C:
的焦點為F
1(-c,0),F(xiàn)
2(c,0),
過F
2的直線交橢圓C于P、Q兩點,設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R,則直線RQ必過定點
.
“逆向問題”三:已知雙曲線C:
的焦點為F
1(-c,0),F(xiàn)
2(c,0),
過F
2的直線交雙曲線C于P、Q兩點,設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R,則直線RQ必過定點
.
分析:(1)拋物線上任一點到焦點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,即有到準線的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,所以的
=1;
(2)由(1)得到的拋物線方程,可設(shè)出M,N兩點坐標即設(shè)
,則利用|MF|=2|NF|可得到M的坐標,然后利用M、F、N共線,可得t的值.進而求出直線斜率,利用直線方程的點斜式求出直線方程.
(3)在前面解答正確的前提下可得到所要求的“逆向”問題,這個“逆向”問題有多個答案,本題的逆向問題是把直線RQ過焦點F作為條件,于是可由把過點
作為結(jié)論得到,也可以由點P關(guān)于x軸的對稱點為R,RQ垂直x軸作為結(jié)論得到.
點評:本題考查圓錐曲線--拋物線的概念,幾何性質(zhì)以及應(yīng)用;求曲線的方程,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及應(yīng)用.命題的提出與證明,圓錐曲線與向量等知識交匯點的考查應(yīng)用,同時注意對數(shù)形結(jié)合思想,定義法,設(shè)而不求思想等具體思想方法的考查.