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已知橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為l₁和l₂，過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F作直線l，使得l⊥l₂于點(diǎn)C，又l與l₁交于點(diǎn)P，l與橢圓E的兩個(gè)交點(diǎn)從上到下依次為A，B（如圖）．
（1）當(dāng)直線l₁的傾斜角為30°，雙曲線的焦距為8時(shí)，求橢圓的方程；
（2）設(shè)

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，證明：λ₁+λ₂為常數(shù)．

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已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，右焦點(diǎn)F（1，0）．過(guò)點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線l，交橢圓G于A、B兩點(diǎn)，M（2，0）是一個(gè)定點(diǎn)．如圖所示，連AM、BM，分別交橢圓G于C、D兩點(diǎn)（不同于A、B），記直線CD的斜率為k₁．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）在直線l的斜率k變化的過(guò)程中，是否存在一個(gè)常數(shù)λ，使得k₁=λk恒成立？若存在，求出這個(gè)常數(shù)λ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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已知橢圓

x2

a2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，右焦點(diǎn)為F（1，0），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；
（3）當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)S，使

SA

•

SB

為常數(shù)，若存在，求出定點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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1

2

3

4

5

6

7

8

2

9

充分不必要

4

①②④

9

10

11

12

13

14

或0

點(diǎn)P在圓內(nèi)

①②③

15．解： （1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：

所以低于50分的人數(shù)為（人）………………………………………….5分

（2）依題意，成績(jī)60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），

頻率和為

所以，抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是%.

于是，可以估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率約為%……………………………………9分.

（3）“成績(jī)低于50分”及“[50,60)”的人數(shù)分別是6,9。所以從成績(jī)不及格的學(xué)生中選兩人，他們成績(jī)至少有一個(gè)不低于50分的概率為：  ……………14分

16．解：（1），

即，

∴，∴．

∵，∴．………………………………………………………………7分

（2）mn ，

|mn|．

∵，∴，∴．

從而．

∴當(dāng)＝1，即時(shí)，|mn|取得最小值．

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

17．(1)證明：E、P分別為AC、A′C的中點(diǎn)，

        EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B

       ∴即EP∥平面A′FB                  …………………………………………7分

(2) 證明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

   ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC

     BC平面A′BC

   ∴平面A′BC⊥平面A′EC             …………………………………………14分

注：直角三角形條件在證這兩問(wèn)時(shí)多余了，可直接用兩側(cè)面的直角三角形證明即可。

18．解：（1）取弦的中點(diǎn)為M，連結(jié)OM

由平面幾何知識(shí)，OM=1

     得：，  

∵直線過(guò)F、B ，∴則     …………………………………………6分

（2）設(shè)弦的中點(diǎn)為M，連結(jié)OM

則

       解得     

∴                    …………………………………………15分

（本題也可以利用特征三角形中的有關(guān)數(shù)據(jù)直接求得）

19．

第(3)問(wèn)的構(gòu)造法可直接用第二種方法，作差后用代換即可。

20．解：（1）由方程組的解為不符合題設(shè)，可證。_{………3分}

（2）假設(shè)存在。

由方程組，得，即_…5分

設(shè)（），可證：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且。

，設(shè)，則。_{………7分}

①當(dāng)時(shí)，，遞增，故，

于是，在上單調(diào)遞減。

設(shè)，則，在上遞增，，即，所以。_{………9分}

②當(dāng)時(shí)，，遞減，故，

于是，在上單調(diào)遞減。

，在上遞減，，即，所以

由函數(shù)（）的性質(zhì)可知滿足題設(shè)的不存在。_{………11分}

（3）假設(shè)1，，是一個(gè)公差為的等差數(shù)列的第r、s、t項(xiàng)，又是一個(gè)等比為等比數(shù)列的第r、s、t項(xiàng)。于是有：，

，

從而有， 所以。

設(shè)，同（2）可知滿足題設(shè)的不存在_{………16分}

注：證法太繁，在第二問(wèn)中，可用來(lái)表示，消去可得，則構(gòu)造易得到極值點(diǎn)為。

附加題參考答案

附1．（1）設(shè)M=，則有=，=，

所以且   解得，所以M=．…………………………5分

（2）任取直線l上一點(diǎn)P(x，y)經(jīng)矩陣M變換后為點(diǎn)P’(x’，y’)．

因?yàn)?sub>，所以又m：，

所以直線l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………10分

附2．解：以有點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．

（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標(biāo)方程． 

同理為圓的直角坐標(biāo)方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為． …………………………10分

附3．（1）設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，得．

化簡(jiǎn)，得．………………………………………………………………5分

（2）．……………………………………10分

附4．（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知               ………………………………4分

（2）ξ可取1，2，3，4．   ，

 ；………………8分

 故ξ的分布列為

ξ

1

2

3

4

P

  答：ξ的數(shù)學(xué)期望為       …………10分