已知橢圓和橢圓的離心率相同,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上一點,過點作直線交橢圓兩點,且恰為弦的中點。求證:無論點怎樣變化,的面積為常數(shù),并求出此常數(shù).

(1)橢圓的方程為;(2)的面積為常數(shù)

解析試題分析:(1)由題知,,解這個方程組求得即可得橢圓的方程;(2)涉及直線與曲線的關(guān)系的問題,多是將直線方程與曲線方程聯(lián)立再用韋達定理解決.此題中有兩個橢圓,將哪個橢圓的方程與直線方程聯(lián)立?此題意即直線與的交點的中點在上,故應(yīng)將直線方程與的方程聯(lián)立由韋達定理得中點坐標,再將中點坐標代入的方程.然后求出三角形OAB的面積的表達式,再利用前面所得關(guān)系式化為一常數(shù)即可.
試題解析:(1)由題知, 即,橢圓的方程為;    4分
(2)當直線的斜率不存在時,必有,此時,        5分
當直線的斜率存在時,設(shè)其斜率為、點,則
與橢圓聯(lián)立,得,設(shè),
  即            8分
             9分



綜上,無論怎樣變化,的面積為常數(shù).            12分
考點:1、橢圓的方程;2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

拋物線的頂點在坐標原點,焦點與雙曲線-=1的一個焦點重合,則該拋物線的標準方程可能是(  )

A.x2=4y     B.x2=-4y
C.y2=-12x   D.x2=-12y

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

如圖,過拋物線y2=2px (p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B,交其準線于點C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線方程為(  )

A.y2=9x           B.y2=6x
C.y2=3x           D.y2x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

設(shè)拋物線y2=4x上一點P到直線x=﹣3的距離為5,則點P到該拋物線焦點的距離是( 。

A.3 B.4 C.6 D.8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

已知雙曲線 (a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線(p>0)分別交于O、A、B三點,O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p=
A.1     B.    C.2    D.3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

橢圓的右焦點為,橢圓軸正半軸交于點,與軸正半軸交于,且,過點作直線交橢圓于不同兩點,則直線的斜率的取值范圍是( 。

A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

若拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點,則實數(shù)等于(    )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

已知點分別是雙曲線的左、右焦點,過且垂直于 軸的直線與雙曲線交于,兩點,若是鈍角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是(  )

A. B. 
C. D. 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

等軸雙曲線的中心在原點,焦點在軸上,與拋物線的準線交于兩點,則的實軸長為(   )

A.
B.2
C.4
D.8

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