已知等軸雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，

3

2

）．
（1）若已知下列所給的三個(gè)方程中有一個(gè)是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=

27

4

；②xy=9；③xy=

9

2

．請(qǐng)確定哪個(gè)是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)；
（2）現(xiàn)要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從P到A、從P到B修建公路的費(fèi)用都是每單位長(zhǎng)度a萬(wàn)元，則碼頭應(yīng)建在何處，才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低？
（3）如圖，函數(shù)y=

3

3

x+

1

x

的圖象也是雙曲線，請(qǐng)嘗試研究此雙曲線的性質(zhì)，你能得到哪些結(jié)論？（本小題將按所得到的雙曲線性質(zhì)的數(shù)量和質(zhì)量酌情給分）

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已知等軸雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，）．
（1）若已知下列所給的三個(gè)方程中有一個(gè)是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=；②xy=9；③xy=．請(qǐng)確定哪個(gè)是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)；
（2）現(xiàn)要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從P到A、從P到B修建公路的費(fèi)用都是每單位長(zhǎng)度a萬(wàn)元，則碼頭應(yīng)建在何處，才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低？
（3）如圖，函數(shù)y=x+的圖象也是雙曲線，請(qǐng)嘗試研究此雙曲線的性質(zhì)，你能得到哪些結(jié)論？（本小題將按所得到的雙曲線性質(zhì)的數(shù)量和質(zhì)量酌情給分）

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已知等軸雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，）．
（1）若已知下列所給的三個(gè)方程中有一個(gè)是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=；②xy=9；③xy=．請(qǐng)確定哪個(gè)是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)；
（2）現(xiàn)要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從P到A、從P到B修建公路的費(fèi)用都是每單位長(zhǎng)度a萬(wàn)元，則碼頭應(yīng)建在何處，才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低？
（3）如圖，函數(shù)y=x+的圖象也是雙曲線，請(qǐng)嘗試研究此雙曲線的性質(zhì)，你能得到哪些結(jié)論？（本小題將按所得到的雙曲線性質(zhì)的數(shù)量和質(zhì)量酌情給分）

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已知等軸雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，）．
（1）若已知下列所給的三個(gè)方程中有一個(gè)是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=；②xy=9；③xy=．請(qǐng)確定哪個(gè)是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)；
（2）現(xiàn)要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從P到A、從P到B修建公路的費(fèi)用都是每單位長(zhǎng)度a萬(wàn)元，則碼頭應(yīng)建在何處，才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低？
（3）如圖，函數(shù)y=x+的圖象也是雙曲線，請(qǐng)嘗試研究此雙曲線的性質(zhì)，你能得到哪些結(jié)論？（本小題將按所得到的雙曲線性質(zhì)的數(shù)量和質(zhì)量酌情給分）

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已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓C和等軸雙曲線C₁，點(diǎn)(

5

，-1)在曲線C₁上，橢圓C的焦點(diǎn)是雙曲線C₁的頂點(diǎn)，且橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)M到直線x-

3

y-2=0的距離為4．
（Ⅰ）求雙曲線C₁和橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線AB的斜率為

1

2

，求四邊形APBQ面積的最大值．

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

C

C

A

C

B

C

C

B

B

C

二、填空題

13．（）  14．x=0或y=0     15．4     16．2／3    17．20   18．①④

三、解答題

19．解：A（―4，2）關(guān)于直線：對(duì)稱的點(diǎn)為，因?yàn)橹本�是中的平分線，可以點(diǎn)在直線上，故直線的方程是，由，，則是以為直角的三角形，，10

20．解：由，，設(shè)雙曲線方程為，橢圓方程為，它們的焦點(diǎn)，則

，又，，雙曲線方程為，橢圓方程為

21．解：，設(shè)橢圓方程為①，設(shè)過(guò)和的直線方程為②，將②代入①得－③，設(shè)，的中點(diǎn)為代入，，，由③，，解得

22．解：⑴設(shè)直線方程為：代入，得

，另知直線與半圓相交的條件為，設(shè)，則，，點(diǎn)位于的右側(cè)，應(yīng)有，即，（亦可求出的橫坐標(biāo)）

⑵若為正，則點(diǎn)到直線距離

與矛盾，在⑴條件下不可能是正△．

23．⑴由題意設(shè)橢圓方程為：，則解得： ，所以橢圓方程為：

⑵設(shè)“左特征點(diǎn)”，設(shè)，為的平分線，，，下面設(shè)直線的方程為，代入得：，代入上式得解得

⑶橢圓的“左特征點(diǎn)”M是橢圓的左準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)證明如下：

證明：設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A、B分別作的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D。據(jù)橢圓第二定義得，

∵∥∥，∴，

∴∵與均為銳角，∴。

∴�！�為的平分線。故點(diǎn)為橢圓的“左特征點(diǎn)”。