已知中心在坐標原點,坐標軸為對稱軸的橢圓C和等軸雙曲線C1,點(
5
,-1)
在曲線C1上,橢圓C的焦點是雙曲線C1的頂點,且橢圓C與y軸正半軸的交點M到直線x-
3
y-2=0
的距離為4.
(Ⅰ)求雙曲線C1和橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)直線x=2與橢圓C相交于P、Q兩點,A、B是橢圓上位于直線PQ兩側的兩動點,若直線AB的斜率為
1
2
,求四邊形APBQ面積的最大值.
分析:(Ⅰ)設等軸雙曲線C1的方程,利用C1(
5
,-1)
點,即可求得等軸雙曲線C1的方程;根據雙曲線的頂點即橢圓的焦點坐標,可設橢圓的方程,利用M到直線x-
3
y-2=0
的距離為4,即可求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線AB的方程代入橢圓方程并化簡,可得一元二次方程,進而可表示四邊形APBQ的面積,從而可求四邊形APBQ面積的最大值.
解答:解:(Ⅰ)設等軸雙曲線C1的方程為x2-y2=λ(λ≠0)
因C1(
5
,-1)
點,所以(
5
)2-1=λ
,解得λ=4
所以等軸雙曲線C1的方程為x2-y2=4…(3分)
因為雙曲線的頂點即橢圓的焦點坐標為(-2,0),(2,0)
所以可設橢圓的方程為
x2
b2+4
+
y2
b2
=1
,且M(0,b)
因為M(0,b)到直線x-
3
y-2=0
的距離為4,所以
|-
3
b-2|
12+3
=4

b=2
3

∴橢圓C的方程為
x2
16
+
y2
12
=1
…(6分)
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=
1
2
x+t

y=
1
2
x+t
代入
x2
16
+
y2
12
=1
并化簡得x2+tx+t2-12=0
由△>0,解得-4<t<4,
由韋達定理得x1+x2=-t,x1x2=t2-12…(9分)
又直線x=2與橢圓C相交于P、Q兩點,所以|PQ|=6
所以四邊形APBQ的面積S=
1
2
×6×|x1-x2|=3
48-3t2

則當t=0,面積的最大值為12
3
,即Smax=12
3
…(12分)
點評:本題考查雙曲線、橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查四邊形面積的計算,正確表示四邊形的面積是關鍵.
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32
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+
ON
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