題目列表(包括答案和解析)
消費(fèi)金額(元)的范圍 | [200,400) | [400,500) | [500,700) | [700,900) | … |
第二次優(yōu)惠金額(元) | 30 | 60 | 100 | 150 | … |
購(gòu)買商品獲得的優(yōu)惠總額 |
商品的標(biāo)價(jià) |
1 |
3 |
已知曲線C:(m∈R)
(1) 若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓,求m的取值范圍;
(2) 設(shè)m=4,曲線c與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證:A,G,N三點(diǎn)共線。
【解析】(1)曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,當(dāng)且僅當(dāng)解得,所以m的取值范圍是
(2)當(dāng)m=4時(shí),曲線C的方程為,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為,
由,得
因?yàn)橹本與曲線C交于不同的兩點(diǎn),所以
即
設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為,則
直線BM的方程為,點(diǎn)G的坐標(biāo)為
因?yàn)橹本AN和直線AG的斜率分別為
所以
即,故A,G,N三點(diǎn)共線。
【答案】
【解析】設(shè),有幾何意義知的最小值為, 又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x滿足,所以只要2大于等于f(x)的最小值即可.即2,解得:∈,所以a的取值范圍是.故答案為:.
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若過點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問,利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依題意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切線過點(diǎn)A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.
∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2
畫出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范圍是(-6,2).
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