題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱,0∈D,且存在常數(shù)a>0,使f(a)=1,又,
(1)寫出f(x)的一個函數(shù)解析式,并說明其符合題設(shè)條件;
(2)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性;
(3)若存在正常數(shù)T,使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)對于x∈D都成立,則都稱f(x)是周期函數(shù),T為周期;試問f(x)是不是周期函數(shù)?若是,則求出它的一個周期T;若不是,則說明理由。
已知函數(shù)f(x)=,為常數(shù)。
(I)當(dāng)=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍。
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問中,利用當(dāng)a=1時,f(x)=,則f(x)的定義域是然后求導(dǎo),,得到由,得0<x<1;由,得x>1;得到單調(diào)區(qū)間。第二問函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),則或在區(qū)間[1,2]上恒成立,即即,或在區(qū)間[1,2]上恒成立,解得a的范圍。
(1)當(dāng)a=1時,f(x)=,則f(x)的定義域是
。
由,得0<x<1;由,得x>1;
∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,上是減函數(shù)。……………6分
(2)。若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),
則或在區(qū)間[1,2]上恒成立!,或在區(qū)間[1,2]上恒成立。即,或在區(qū)間[1,2]上恒成立。
又h(x)=在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)。h(x)max=(2)=,h(x)min=h(1)=3
即,或。 ∴,或。
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