設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,0∈D,且存在常數(shù)a>0,使f(a)=1,又

(1)寫出f(x)的一個(gè)函數(shù)解析式,并說明其符合題設(shè)條件;

(2)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性;

(3)若存在正常數(shù)T,使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)對(duì)于x∈D都成立,則都稱f(x)是周期函數(shù),T為周期;試問f(x)是不是周期函數(shù)?若是,則求出它的一個(gè)周期T;若不是,則說明理由。

(1)見解析(2)奇函數(shù)(3)見解析


解析:

(1)取f(x)=tanx,定義域?yàn)閧x∣x≠kπ+,k∈Z}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且0∈D;

且存在常數(shù)使得f(a)=tana=1;

又由兩角差的正切公式知,符合。                          ……4分

(2)f(x)是D上的奇函數(shù);證明如下:f(0)=0,取x1=0,x2=x,由

得f(-x)=-f(x),所以f(x)是D上的奇函數(shù);                                                           ……4分

(3)考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a,可猜測(cè)4a是f(x)的一個(gè)周期。

證明:由已知,則

,

所以f(x)是周期函數(shù),4a是f(x)的一個(gè)周期。                                                  ……7分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(09年東城區(qū)示范校質(zhì)檢一理)(14分)

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí), (a為實(shí)數(shù)).

   (Ⅰ)求當(dāng)時(shí),f(x)的解析式;

   (Ⅱ)若上是增函數(shù),求a的取值范圍;

   (Ⅲ)是否存在a,使得當(dāng)時(shí),f(x)有最大值-6.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=lgx,則滿足f(x)>0的x的取值范圍是___________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),并且f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),有f(x)=x,則f(3.5)=____________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x+1,則f()=________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(上海卷) 題型:填空題

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=lg x,則滿足f(x)>0

x的取值范圍是                  .

 

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