題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)的最小值為0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對任意的有≤成立,求實(shí)數(shù)的最小值;
(Ⅲ)證明().
【解析】(1)解: 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">
由,得
當(dāng)x變化時,,的變化情況如下表:
x |
|||
- |
0 |
+ |
|
極小值 |
因此,在處取得最小值,故由題意,所以
(2)解:當(dāng)時,取,有,故時不合題意.當(dāng)時,令,即
令,得
①當(dāng)時,,在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對于任意的,總有,即在上恒成立,故符合題意.
②當(dāng)時,,對于,,故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時,,即不成立.
故不合題意.
綜上,k的最小值為.
(3)證明:當(dāng)n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立.
當(dāng)時,
在(2)中取,得 ,
從而
所以有
綜上,,
(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(I)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)當(dāng)時,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(Ⅲ)求證:解:(1),其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052512313679685506/SYS201205251234077812428021_ST.files/image007.png">,則令,
則,
當(dāng)時,;當(dāng)時,
在(0,1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
即當(dāng)時,函數(shù)取得極大值. (3分)
函數(shù)在區(qū)間上存在極值,
,解得 (4分)
(2)不等式,即
令
(6分)
令,則,
,即在上單調(diào)遞增, (7分)
,從而,故在上單調(diào)遞增, (7分)
(8分)
(3)由(2)知,當(dāng)時,恒成立,即,
令,則, (9分)
(10分)
以上各式相加得,
即,
即
(12分)
。
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 若在上的最大值為,求的值.
【解析】第一問中利用函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2),.
當(dāng)a=1時,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
第二問中,利用當(dāng)時, >0, 即在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2),.
(1)當(dāng)時,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
(2)當(dāng)時, >0, 即在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
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