題目列表(包括答案和解析)
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設點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().
(1) 當時,試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標,從而使得
;
(2)當時,若,
求證:;
(3) 當時,某同學對(2)的逆命題,即:
“若,則.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:
① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設,
分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得到
第二問設,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
第三問中①取時,拋物線的焦點為,
設,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;
解:(1)拋物線的焦點為,設,
分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
因為,所以,
故可取滿足條件.
(2)設,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
又因為
;
所以.
(3) ①取時,拋物線的焦點為,
設,分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;,
則,
.
故,,,是一個當時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設,分別過作
拋物線的準線的垂線,垂足分別為,
由及拋物線的定義得
,即.
因為上述表達式與點的縱坐標無關,所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標都大于零,則
,
而,所以.
(說明:本質上只需構造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)
③ 補充條件1:“點的縱坐標()滿足 ”,即:
“當時,若,且點的縱坐標()滿足,則”.此命題為真.事實上,設,
分別過作拋物線準線的垂線,垂足分別為,由,
及拋物線的定義得,即,則
,
又由,所以,故命題為真.
補充條件2:“點與點為偶數(shù),關于軸對稱”,即:
“當時,若,且點與點為偶數(shù),關于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)
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