5第3批 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

第26屆世界大學生夏季運動會將于2011年8月12日至23日在深圳舉行，為了搞好接待工作，組委會在某學院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：

                        男              女

                           9    15    7  7  8  9  9

                        9  8    16    1  2  4  5  8  9

                  8  6  5  0    17    2  3  4  5  6

                  7  4  2  1    18    0  1

                           1    19

1)根據以上莖葉圖，完成以下頻率分布表，并畫出它的頻率分布直方圖。

分組

頻數

頻率

[150,159)

總計

2）從所列頻率分布直方圖估計該批志愿者的平均身高；

3）若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”。如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？

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某批產品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意出取2件產品進行檢驗．設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．
（1）用ξ表示抽檢的6件產品中二等品的件數，求ξ的分布列及ξ的數學期望；
（2）若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品被用戶拒絕的概率．

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某批產品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產品進行檢驗．設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．用ξ表示抽檢的6件產品中二等品的件數．
（Ⅰ）求在抽檢的6件產品中恰有一件二等品的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和數學期望值；
（Ⅲ）若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品被用戶拒絕的概率．

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某批產品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意出取2件產品進行檢驗．設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．
（I）求取6件產品中有1件產品是二等品的概率．
（II）若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品被用戶拒絕的概率．

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某批產品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產品進行檢驗．設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．用ξ表示抽檢的6件產品中二等品的件數．
（Ⅰ）求在抽檢的6件產品中恰有一件二等品的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和數學期望值；
（Ⅲ）若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品被用戶拒絕的概率．

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

 

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9.； 10.（-1，2）； 11.0；  12.（或）；

13.（1） 或 ；（2）16；（3）.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

14.（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵

當時，其圖象如右圖所示.---4分

（Ⅱ）函數的最小正周期是，其單調遞增區(qū)間是；由圖象可以看出，當時，該函數的最大值是.--------------7分

（Ⅲ）若x是△ABC的一個內角，則有，∴

由，得

∴  ∴ ，，故△ABC為直角三角形. --------------12分

15．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）

       --------6分

（Ⅱ）當時，

 ----------12分

 

16．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條

側棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的

正方形，高為CC1=6，故所求體積是

       ------------------------4分

 （Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，

故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的

正方形，于是

  故所拼圖形成立.---8分

（Ⅲ）方法一：設B1E，BC的延長線交于點G，

 連結GA，在底面ABC內作BH⊥AG，垂足為H，

連結HB1，則B1H⊥AG，故∠B1HB為平面AB1E與

平面ABC所成二面角或其補角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中，，則

，，

，故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

   方法二：以C為原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系（如圖3），∵正方體棱長為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.

 設向量n=（x，y，z），滿足n⊥，n⊥，

于是，解得.       --------------------12分

  取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. ----------------14分

 

17．（本小題滿分14分）

解：分別記該考生考上第1、2、3批分數線為事件A、B、C，被相應志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 則以上各事件相互獨立.  -------------------------------------2分

（Ⅰ）“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分數線和僅上第2批分數線兩種情況，故所求概率為

     

.  -----------------------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）設該考生所報志愿均未錄取的概率為，則

           

          

         .

     ∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分

        • 
 
        
  
  
        
   
        
    
    
        
    
        表 二
        批次
        a
        b
        第2批
        0.9
        0.05
        第3批
        0.048
        0.0020
        從表中可以看出，該考生被第2批a志愿錄取的概率最大，故最有可能在第2批a志愿被錄取. ------14分
         
        18．（本小題滿分14分）
        解：（Ⅰ）∵，當時，.
             ∴在[1，3]上是增函數.---------------------------------3分
             ∴當時，≤≤，即 -2≤≤26.
              ∴存在常數M=26，使得，都有≤M成立.
               故函數是[1，3]上的有界函數.---------------------------6分
        （Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1
           ∴  
               令，則.
              當時，有，
        ∴在[0，+∞上單調遞減.  
-------------------------------10分
        故當t=0 時，有；
        又，當t→+∞時，→0，
        ∴ ，從而有≤0，且.  ∴0≤a≤1；                              
故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分
         
        19．（本小題滿分14分）
        解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，
         又拋物線的準線為：. 
        設雙曲線M的方程為，依題意有，
        故，又.
        ∴雙曲線M的方程為. ------------------------4分
        （Ⅱ）設直線與雙曲線M的交點為、兩點
        聯立方程組 消去y得 
，
        ∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根，
∴
        ∴，從而有
        ，.
        又，
        ∴.
        ① 若，則有 ，即 .
        ∴當時，使得. -----------------------------8分
        ② 若存在實數,使A、B兩點關于直線對稱，則必有 ，
        因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；------------------------------------10分
        當時，由 得 
          
        ∵A、B中點在直線上，
        ∴ 代入上式得
        ；又， ∴
        將代入并注意到，得 .
        ∴當時，存在實數，使A、B兩點關于直線對稱.--14分
        如上各題若有其它解法，請評卷老師酌情給分.
         
         
         
         
        		
        
	
	
        
		
        


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