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題目列表(包括答案和解析)

9個國家乒乓球隊中有3個亞洲國家隊，抽簽分成甲、乙、丙三組（每組3隊）進行預賽，試求：
（1）三個組各有一個亞洲隊的概率；
（2）至少有兩個亞洲隊分在同一組的概率．

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10、9、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有（　�。�

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9支球隊中，有5支亞洲隊，4支非洲隊，從中任意抽2隊進行比賽，則兩洲各有一隊的概率是
 
．

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9粒種子分種在甲、乙、丙3個坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種．
（Ⅰ）求甲坑不需要補種的概率；
（Ⅱ）求有坑需要補種的概率．（精確到0.001）

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20、9粒種子分種在3個坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種．假定每個坑至多補種一次，每補種1個坑需10元，用ξ表示補種費用，寫出ξ的分布列并求ξ的數(shù)學期望．（精確到0.01）

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

 

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9.； 10.（-1，2）； 11.0；  12.（或）；

13.（1） 或 ；（2）16；（3）.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

14.（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵

當時，其圖象如右圖所示.---4分

（Ⅱ）函數(shù)的最小正周期是，其單調(diào)遞增區(qū)間是；由圖象可以看出，當時，該函數(shù)的最大值是.--------------7分

（Ⅲ）若x是△ABC的一個內(nèi)角，則有，∴

由，得

∴  ∴ ，，故△ABC為直角三角形. --------------12分

15．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）

       --------6分

（Ⅱ）當時，

 ----------12分

 

16．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條

側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的

正方形，高為CC1=6，故所求體積是

       ------------------------4分

 （Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，

故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的

正方形，于是

  故所拼圖形成立.---8分

（Ⅲ）方法一：設(shè)B1E，BC的延長線交于點G，

 連結(jié)GA，在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，

連結(jié)HB1，則B1H⊥AG，故∠B1HB為平面AB1E與

平面ABC所成二面角或其補角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中，，則

，，

，故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

   方法二：以C為原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系（如圖3），∵正方體棱長為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.

 設(shè)向量n=（x，y，z），滿足n⊥，n⊥，

于是，解得.       --------------------12分

  取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. ----------------14分

 

17．（本小題滿分14分）

解：分別記該考生考上第1、2、3批分數(shù)線為事件A、B、C，被相應志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 則以上各事件相互獨立.  -------------------------------------2分

（Ⅰ）“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分數(shù)線和僅上第2批分數(shù)線兩種情況，故所求概率為

     

.  -----------------------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）設(shè)該考生所報志愿均未錄取的概率為，則

           

          

         .

     ∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分

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        表 二
        批次
        a
        b
        第2批
        0.9
        0.05
        第3批
        0.048
        0.0020
        從表中可以看出，該考生被第2批a志愿錄取的概率最大，故最有可能在第2批a志愿被錄取. ------14分
         
        18．（本小題滿分14分）
        解：（Ⅰ）∵，當時，.
             ∴在[1，3]上是增函數(shù).---------------------------------3分
             ∴當時，≤≤，即 -2≤≤26.
              ∴存在常數(shù)M=26，使得，都有≤M成立.
               故函數(shù)是[1，3]上的有界函數(shù).---------------------------6分
        （Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1
           ∴  
               令，則.
              當時，有，
        ∴在[0，+∞上單調(diào)遞減.  
-------------------------------10分
        故當t=0 時，有；
        又，當t→+∞時，→0，
        ∴ ，從而有≤0，且.  ∴0≤a≤1；                              
故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分
         
        19．（本小題滿分14分）
        解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，
         又拋物線的準線為：. 
        設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有，
        故，又.
        ∴雙曲線M的方程為. ------------------------4分
        （Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線M的交點為、兩點
        聯(lián)立方程組 消去y得 
，
        ∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根，
∴
        ∴，從而有
        ，.
        又，
        ∴.
        ① 若，則有 ，即 .
        ∴當時，使得. -----------------------------8分
        ② 若存在實數(shù),使A、B兩點關(guān)于直線對稱，則必有 ，
        因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；------------------------------------10分
        當時，由 得 
          
        ∵A、B中點在直線上，
        ∴ 代入上式得
        ；又， ∴
        將代入并注意到，得 .
        ∴當時，存在實數(shù)，使A、B兩點關(guān)于直線對稱.--14分
        如上各題若有其它解法，請評卷老師酌情給分.
         
         
         
         
        		
        
	
	
        
		
        


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