4第2批 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

第26屆世界大學(xué)生夏季運動會將于2011年8月12日至23日在深圳舉行,為了搞好接待工作,組委會在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者.將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖(單位:cm):

                        男              女

                           9    15    7  7  8  9  9

                        9  8    16    1  2  4  5  8  9

                  8  6  5  0    17    2  3  4  5  6

                  7  4  2  1    18    0  1

                           1    19

1)根據(jù)以上莖葉圖,完成以下頻率分布表,并畫出它的頻率分布直方圖。

分組

頻數(shù)

頻率

[150,159)

總計

2)從所列頻率分布直方圖估計該批志愿者的平均身高;

3)若身高在175cm以上(包括175cm)定義為“高個子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定義為“非高個子”。如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人,再從這5人中選2人,那么至少有一人是“高個子”的概率是多少?

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對批量(即一批產(chǎn)品中所含產(chǎn)品件數(shù))很大的一批產(chǎn)品進行抽樣質(zhì)量檢查時,采取隨機的一件一件地抽取進行檢查.若檢查4件產(chǎn)品未發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品,則停止檢查并認為該批產(chǎn)品合格;若在查到第4件或在此之前發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品,則也停止檢查并認為該批產(chǎn)品不合格.假定該批產(chǎn)品的不合格率為
1
10
,檢查產(chǎn)品的件數(shù)為X.
(1)求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)求通過抽樣質(zhì)量檢查,認為該批產(chǎn)品不合格的概率.

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對批量(即一批產(chǎn)品中所含產(chǎn)品件數(shù))很大的一批產(chǎn)品進行抽樣質(zhì)量檢查時,采取隨機的一件一件地抽取進行檢查.若檢查4件產(chǎn)品未發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品,則停止檢查并認為該批產(chǎn)品合格;若在查到第4件或在此之前發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品,則也停止檢查并認為該批產(chǎn)品不合格.假定該批產(chǎn)品的不合格率為,檢查產(chǎn)品的件數(shù)為X.
(1)求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)求通過抽樣質(zhì)量檢查,認為該批產(chǎn)品不合格的概率.

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一批產(chǎn)品,有2件次品,4件正品,每次抽一件測試,直到2件次品都找到為止,假設(shè)抽后不放回.

求第四次測試后停止的概率.

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某批產(chǎn)品成箱包裝,每箱5件,一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出2箱,再從每箱中任意取出2件產(chǎn)品進行檢驗.設(shè)取出的第一箱中有1件二等品、4件一等品,第二箱中有2件二等品、3件一等品.

(1)求取4件產(chǎn)品中有1件產(chǎn)品是二等品的概率.

(2)若抽檢的4件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品,用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品,求這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率.

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一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)

1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

 

二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)

9.; 10.(-1,2); 11.0;  12.(或);

13.(1);(2)16;(3).

三、解答題(本大題共6小題,共80分)

14.(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ)∵

當(dāng)時,其圖象如右圖所示.---4分

(Ⅱ)函數(shù)的最小正周期是,其單調(diào)遞增區(qū)間是;由圖象可以看出,當(dāng)時,該函數(shù)的最大值是.--------------7分

(Ⅲ)若x是△ABC的一個內(nèi)角,則有,∴

,得

 ∴,故△ABC為直角三角形. --------------12分

15.(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ)

       --------6分

(Ⅱ)當(dāng)時,

 ----------12分

 

16.(本小題滿分14分)

解:(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條

側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的

正方形,高為CC1=6,故所求體積是

       ------------------------4分

 (Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,

故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體,

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的

正方形,于是

  故所拼圖形成立.---8分

(Ⅲ)方法一:設(shè)B1E,BC的延長線交于點G,

 連結(jié)GA,在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG,垂足為H,

連結(jié)HB1,則B1H⊥AG,故∠B1HB為平面AB1E與

平面ABC所成二面角或其補角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中,,則

,,

,故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

   方法二:以C為原點,CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系(如圖3),∵正方體棱長為6,則E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).

 設(shè)向量n=(x,y,z),滿足n⊥,n⊥,

于是,解得.       --------------------12分

  取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6),

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. ----------------14分

 

17.(本小題滿分14分)

解:分別記該考生考上第1、2、3批分數(shù)線為事件A、B、C,被相應(yīng)志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci,(i=a、b), 則以上各事件相互獨立.  -------------------------------------2分

(Ⅰ)“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分數(shù)線和僅上第2批分數(shù)線兩種情況,故所求概率為

     

.  -----------------------------------------------------------------------------------6分

(Ⅱ)設(shè)該考生所報志愿均未錄取的概率為,則

           

          

         .

     ∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分

    表 二

    批次

    a

    b

    第2批

    0.9

    0.05

    第3批

    0.048

    0.0020

    從表中可以看出,該考生被第2批a志愿錄取的概率最大,故最有可能在第2批a志愿被錄取. ------14分

     

    18.(本小題滿分14分)

    解:(Ⅰ)∵,當(dāng)時,.

         ∴在[1,3]上是增函數(shù).---------------------------------3分

         ∴當(dāng)時,,即 -2≤≤26.

          ∴存在常數(shù)M=26,使得,都有≤M成立.

           故函數(shù)是[1,3]上的有界函數(shù).---------------------------6分

    (Ⅱ)∵. 由≤1,得≤1

       ∴ 

           令,則.

          當(dāng)時,有,

    在[0,+∞上單調(diào)遞減.   -------------------------------10分

    故當(dāng)t=0 時,有;

    ,當(dāng)t→+∞時,→0,

    ,從而有≤0,且.  ∴0≤a≤1;                               故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分

     

    19.(本小題滿分14分)

    解:(Ⅰ)易知,橢圓的半焦距為:,

     又拋物線的準(zhǔn)線為:.

    設(shè)雙曲線M的方程為,依題意有,

    ,又.

    ∴雙曲線M的方程為. ------------------------4分

    (Ⅱ)設(shè)直線與雙曲線M的交點為兩點

    聯(lián)立方程組 消去y得 

    、兩點的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個不同實根, ∴

    ,從而有

    ,.

    ,

    .

    ① 若,則有 ,即 .

    ∴當(dāng)時,使得. -----------------------------8分

    ② 若存在實數(shù),使A、B兩點關(guān)于直線對稱,則必有

    因此,當(dāng)m=0時,不存在滿足條件的k;------------------------------------10分

    當(dāng)時,由

      

    ∵A、B中點在直線上,

    代入上式得

    ;又, ∴

    代入并注意到,得 .

    ∴當(dāng)時,存在實數(shù),使A、B兩點關(guān)于直線對稱.--14分

    如上各題若有其它解法,請評卷老師酌情給分.

     

     

     

     


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