③.即時.不等式的解為:或 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知,設(shè)命題:不等式解集為R;命題:方程沒有實根,如果命題p或q為真命題,p且q為假命題,求的取值范圍.

【解析】本題先求出p、q為真時的c的取值范圍;然后再對p、q一真一假兩種情況進行討論求解,最后求并集即可.

 

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已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為,且不等式的解集為,

(1)若方程有兩個相等的根,求的解析式;

(2)若的最大值為正數(shù),求的取值范圍.

【解析】第一問中利用∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),

設(shè)出二次函數(shù)的解析式,然后利用判別式得到a的值。

第二問中,

解:(1)∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),

   ①

由方程

              ②

∵方程②有兩個相等的根,

,

即5a2-4a-1=0,解得a=1(舍) 或 a=-1/5

a=-1/5代入①得:

(2)由

 

 解得:

故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時,實數(shù)a的取值范圍是

 

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已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù), .(Ⅰ)設(shè),求函數(shù)的最值;(Ⅱ)若對于任意的,都有成立,求的取值范圍.

【解析】第一問中,當(dāng)時,.結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識判定單調(diào)性和極值,進而得到最值。

第二問中,∵,,      

∴原不等式等價于:,

, 亦即

分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍

解:(Ⅰ)當(dāng)時,

當(dāng)上變化時,的變化情況如下表:

 

 

1/e

時,

(Ⅱ)∵,,      

∴原不等式等價于:,

, 亦即

∴對于任意的,原不等式恒成立,等價于恒成立,

∵對于任意的時, (當(dāng)且僅當(dāng)時取等號).

∴只需,即,解之得.

因此,的取值范圍是

 

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已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數(shù)的最小值,并證明.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為

由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當(dāng)時,;當(dāng)時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等價于,

當(dāng)時,;當(dāng)時,;

,所以猜想,的最小值為.     …………8分

下證不等式對任意恒成立.

方法一:數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)時,,成立.

假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,

當(dāng)時,, …………10分

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分

方法二:單調(diào)性證明.

要證 

只要證  ,  

設(shè)數(shù)列的通項公式,        …………10分

,    …………12分

所以對,都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.

,所以恒成立,

的最小值為

 

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已知函數(shù),

(1)求函數(shù)的定義域;

(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;

(3)已知,命題p:關(guān)于x的不等式對函數(shù)的定義域上的任意恒成立;命題q:指數(shù)函數(shù)是增函數(shù).若“p或q”為真,“p且q”為假,求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】第一問中,利用由 即

第二問中,得:

,

第三問中,由在函數(shù)的定義域上 的任意,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。當(dāng)命題p為真時,;而命題q為真時:指數(shù)函數(shù).因為“p或q”為真,“p且q”為假,所以

當(dāng)命題p為真,命題q為假時;當(dāng)命題p為假,命題q為真時分為兩種情況討論即可 。

解:(1)由 即

(2),得:

,

(3)由在函數(shù)的定義域上 的任意,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。當(dāng)命題p為真時,;而命題q為真時:指數(shù)函數(shù).因為“p或q”為真,“p且q”為假,所以

當(dāng)命題p為真,命題q為假時,

當(dāng)命題p為假,命題q為真時,,

所以

 

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