已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù), .(Ⅰ)設(shè),求函數(shù)的最值;(Ⅱ)若對于任意的,都有成立,求的取值范圍.

【解析】第一問中,當時,,.結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識判定單調(diào)性和極值,進而得到最值。

第二問中,∵,,      

∴原不等式等價于:,

, 亦即

分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍

解:(Ⅰ)當時,,

上變化時,,的變化情況如下表:

 

 

1/e

時,,

(Ⅱ)∵,,      

∴原不等式等價于:,

, 亦即

∴對于任意的,原不等式恒成立,等價于恒成立,

∵對于任意的時, (當且僅當時取等號).

∴只需,即,解之得.

因此,的取值范圍是

 

【答案】

(Ⅰ) . (Ⅱ) 的取值范圍是

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x+
a2x
,g(x)=x+lnx,其中a>0.
(Ⅰ)若x=1是函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的極值點,求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)是否存在正實數(shù)a,使對任意的x1,x2∈[1,e](e為自然對數(shù)的底數(shù))都有f(x1)≥g(x2)成立,若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
lnx+kex
(k為常數(shù),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x) 在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè)g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意x>0,g(x)<1+e-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若存在實常數(shù),使得函數(shù)對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足:,則稱直線的“隔離直線”.已知,(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),根據(jù)你的數(shù)學(xué)知識,推斷間的隔離直線方程為                  .

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已知函數(shù)為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點處的切線與軸平行.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅲ)設(shè),其中的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意.

 

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