.當(dāng)且僅當(dāng).即時(shí)取等號.此時(shí)....所以的最小值為.此時(shí)與的夾角為 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù), .(Ⅰ)設(shè),求函數(shù)的最值;(Ⅱ)若對于任意的,都有成立,求的取值范圍.

【解析】第一問中,當(dāng)時(shí),,.結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識判定單調(diào)性和極值,進(jìn)而得到最值。

第二問中,∵,      

∴原不等式等價(jià)于:,

, 亦即

分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍

解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,

當(dāng)上變化時(shí),,的變化情況如下表:

 

 

1/e

時(shí),,

(Ⅱ)∵,,      

∴原不等式等價(jià)于:,

, 亦即

∴對于任意的,原不等式恒成立,等價(jià)于恒成立,

∵對于任意的時(shí), (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號).

∴只需,即,解之得.

因此,的取值范圍是

 

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已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,公差為d,為其前n項(xiàng)和,且滿足,.?dāng)?shù)列滿足,,為數(shù)列的前n項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和;

(2)若對任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.

【解析】第一問利用在中,令n=1,n=2,

   即      

解得,, [

時(shí),滿足,

,

第二問,①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.   

 ,等號在n=2時(shí)取得.

此時(shí) 需滿足.  

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.     

 是隨n的增大而增大, n=1時(shí)取得最小值-6.

此時(shí) 需滿足

第三問,

     若成等比數(shù)列,則,

即.

,可得,即,

        .

(1)(法一)在中,令n=1,n=2,

   即      

解得,, [

時(shí),滿足,

,

(2)①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.   

 ,等號在n=2時(shí)取得.

此時(shí) 需滿足.  

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.     

 是隨n的增大而增大, n=1時(shí)取得最小值-6.

此時(shí) 需滿足

綜合①、②可得的取值范圍是

(3),

     若成等比數(shù)列,則,

即.

,可得,即,

,且m>1,所以m=2,此時(shí)n=12.

因此,當(dāng)且僅當(dāng)m=2, n=12時(shí),數(shù)列中的成等比數(shù)列

 

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