如圖5，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將沿CD折起，使得平面ABCD, 如圖6.

（Ⅰ）求證：AP//平面EFG；

 (Ⅱ) 求二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱椎的體積.

 

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如圖，在直角梯形ABCP中，AB＝BC＝3，AP＝6，CD⊥AP于D，現(xiàn)將△PCD沿線段CD折成60°的二面角P－CD－A，設(shè)E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PA∥平面EFG；

(Ⅱ)若M為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線MF與平面EFG所成角為60°．

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如圖，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=6，CD⊥AP于D，現(xiàn)將△PCD沿線段CD折成60°的二面角P-CD-A，設(shè)E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)．

（Ⅰ） 求證：PA∥平面EFG；
（II）若M為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線MF與平面EFG所成角為60°．

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一、選擇題：(共8題,每小題5分,滿(mǎn)分40分)

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

D

C

A

D

B

B

二、填空題：（每題5分，共30分）

9. 8                10. 60             11. 8            12.

13. 10或0(答對(duì)一個(gè)給3分)        14.          15.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

16．（本題滿(mǎn)分12分）

解:(Ⅰ) =……1分

=……2分

∵

……4分

……6分

∵……7分

.……8分

(Ⅱ)在中，， ，

……9分

由正弦定理知：……10分

=.

……12分

17. 本題滿(mǎn)分12分

 解:(Ⅰ)由 知是方程的兩根,注意到得 .……2分

得.

等比數(shù)列.的公比為,……4分

(Ⅱ)……5分

……7分

數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列. ……8分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列,有

……=……

=……10分

∵

,整理得,解得.……11分

的最大值是7. ……12分

18. 本題滿(mǎn)分14分

解: (Ⅰ)從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品一共有種選法,.選出的3種商品中沒(méi)有日用商品的選法有種, 所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為.……4分

(Ⅱ)顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額是一隨機(jī)變量,設(shè)為X,其所有可能值為0, ,2,3.……6分

X=0時(shí)表示顧客在三次抽獎(jiǎng)中都沒(méi)有獲獎(jiǎng),所以……7分

同理可得……8分

……9分

……10分

于是顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值是.……12分

要使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利,應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額,因此應(yīng)有,所以, …… 13分

故商場(chǎng)應(yīng)將中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為100元,才能使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利. …… 14分

19.本題滿(mǎn)分14分

.解:(Ⅰ) 證明:方法一)連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),∴//,同理//, //    

四邊形EFOG是平行四邊形, 平面EFOG. ……3分

又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點(diǎn),PA//EO……4分

平面EFOG,PA平面EFOG, ……5分

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分

方法二) 連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),∴//,同理//

又//AB,//

平面EFG//平面PAB, ……4分

又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

方法三)如圖以D為原點(diǎn),以

為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系.

則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為:

……2分

設(shè)平面EFG的法向量為

取.……4分

∵,……5分

又平面EFG.

 AP//平面EFG. ……6分

(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形

,又∵面ABCD

又

平面PCD,向量是平面PCD的一個(gè)法向量, =……8分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為……9分

……10分

結(jié)合圖知二面角的平面角為……11分

(Ⅲ) ……14分

20. 本題滿(mǎn)分14分

 (Ⅰ)由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為.……1分

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.……2分

則……4分

.……5分

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是……6分

(Ⅱ)由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.……7分

設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

聯(lián)立方程:

消去整理得,

有……9分

若以MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則,所以,……10分

所以,,

即

所以,

即……11分   得……12分

所以直線的方程為,或.……13分

所以存在過(guò)P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn). ……14分

21: 本題滿(mǎn)分14分

 (Ⅰ)

……2分

 ……4分

(Ⅱ)

(?)0<t<t+2<，t無(wú)解；……5分

(?)0<t<<t+2，即0<t<時(shí)，；……7分

(?)，即時(shí)，，……9分

……10分

(Ⅲ)由題意:

即

可得……11分

設(shè),

則……12分

令,得(舍)

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),取得最大值, =-2……13分

.

的取值范圍是.……14分