(1)證明:定義在R上的二次函數(shù)是凸函數(shù), 【查看更多】

若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值、總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的凸函數(shù) .

（1）證明：定義在R上的二次函數(shù)是凸函數(shù)；

（2）設(shè)，并且時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍，并判斷函數(shù)能否成為上的凸函數(shù)；

（3）定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)滿足：①對任意的，；②，. 試求的解析式；并判斷所求的函數(shù)是不是R上的凸函數(shù)說明理由.

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上任意x₁，x₂都有不等式 $數(shù)學(xué)公式$ 成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（II）對（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當(dāng)q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上任意x₁，x₂都有不等式

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（II）對（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當(dāng)q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上任意x₁，x₂都有不等式

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（II）對（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當(dāng)q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x₁、x₂總有以下不等式

≤f（

）成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（1）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]時，f（x）≤1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍，并判斷函數(shù)
f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）能否成為R上的凸函數(shù)；
（3）定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
試求f（x）的解析式；并判斷所求的函數(shù)f（x）是不是R上的凸函數(shù)說明理由．

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一．選擇題：

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8

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