Question

若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對(duì)于區(qū)間D上任意x₁，x₂都有不等式成立，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（II）對(duì)（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時(shí)函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當(dāng)q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

Answer 1

解：（I）證明：對(duì)任意x₁，x₂∈R，當(dāng)a＜0，
有[f（x₁）+f（x₂）]-2f（）=ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c-2[a（）²+b（）+c]=ax₁²+ax₂²-a（x₁²+x₂²+2x₁x₂）=a（x₁-x₂）² （3分）
∴當(dāng)a＜0時(shí)，f（x₁）+f（x₂）≤2f（），即≤f（）
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是凸函數(shù)．
（2）因?yàn)閨f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，
所以，
又f（4）=16a+4b+c
設(shè)16a+4b+c=x（a+b+c）+y（4a+2b+c）+z（9a+3b+c）
所以
解得x=1，y=-3，z=3
所以f（4）=f（1）-3f（2）+3f（3）
所以-16≤f（4）≤16
所以f（4）的最大值為16
當(dāng)取得
解得a=4，b=-15，c=12，
（III）因?yàn)閜＜m＜n＜q，p+q=m+n，y=f（x）為凸函數(shù)，
所以f（p）+f（q）≤2f（p+q）=2f（m+n）
f（m）+f（n））≤2f（m+n）
因?yàn)閥=f（x）為凸函數(shù)，
所以f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．
分析：（I）利用凸函數(shù)的定義，驗(yàn)證函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＜0）滿(mǎn)足不等式成立．
（II）根據(jù)已知條件得到a，b，c滿(mǎn)足的不等式，將f（4）用f（1），f（2），f（3）表示，從而得到f（4）取最大值時(shí)a，b，d 值．
（III）結(jié)合凸函數(shù)的定義以及梯形的中位線(xiàn)公式得到要證的不等式．
點(diǎn)評(píng)：本題是一定新定義的題，考查了不等式的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的定義域．