題目列表(包括答案和解析)
設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足
【解析】(1)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由條件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由P在橢圓上,有
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
已知m>1,直線,橢圓C:,、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí),求直線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),△A、△B的重心分別為G、H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.[
【解析】第一問(wèn)中因?yàn)橹本經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,0),所以=,得.又因?yàn)閙>1,所以,故直線的方程為
第二問(wèn)中設(shè),由,消去x,得,
則由,知<8,且有
由題意知O為的中點(diǎn).由可知從而,設(shè)M是GH的中點(diǎn),則M().
由題意可知,2|MO|<|GH|,得到范圍
雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故選D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案:D.
【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關(guān)系,只有一個(gè)公共點(diǎn),則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上的定點(diǎn),作直線與拋物線相交于兩點(diǎn).
(I)試證明兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值;
(II)若點(diǎn)是定直線上的任一點(diǎn),試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系,并給出證明.
【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
(1)中證明:設(shè)下證之:設(shè)直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韋達(dá)定理得
(2)中:因?yàn)槿龡l直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之
設(shè)點(diǎn)N(-m,n),則直線AN的斜率KAN=,直線BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
設(shè)橢圓(常數(shù))的左右焦點(diǎn)分別為,是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),.
(1)若,求的值;
(2)求的最小值.
【解析】第一問(wèn)中解:設(shè),則
由得 由,得
②
第二問(wèn)易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí),取最小值.
解:設(shè), ……………………1分
則,由得 ①……2分
(1)由,得 ② ……………1分
③ ………………………1分
由①、②、③三式,消去,并求得. ………………………3分
(2)解法一:易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.………………2分
, ……4分
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí),取最小值.…2分
解法二:, ………………4分
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí),取最小值
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