題目列表(包括答案和解析)
設向量.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若函數(shù),求的最小值、最大值.
【解析】第一問中,利用向量的坐標表示,表示出數(shù)量積公式可得
第二問中,因為,即換元法
令得到最值。
解:(I)
(II)由(I)得:
令
.
時,
給出問題:已知滿足,試判定的形狀.某學生的解答如下:
解:(i)由余弦定理可得,
,
,
,
故是直角三角形.
(ii)設外接圓半徑為.由正弦定理可得,原式等價于
,
故是等腰三角形.
綜上可知,是等腰直角三角形.
請問:該學生的解答是否正確?若正確,請在下面橫線中寫出解題過程中主要用到的思想方法;若不正確,請在下面橫線中寫出你認為本題正確的結果. .
在中,滿足,是邊上的一點.
(Ⅰ)若,求向量與向量夾角的正弦值;
(Ⅱ)若,=m (m為正常數(shù)) 且是邊上的三等分點.,求值;
(Ⅲ)若且求的最小值。
【解析】第一問中,利用向量的數(shù)量積設向量與向量的夾角為,則
令=,得,又,則為所求
第二問因為,=m所以,
(1)當時,則=
(2)當時,則=
第三問中,解:設,因為,;
所以即于是得
從而
運用三角函數(shù)求解。
(Ⅰ)解:設向量與向量的夾角為,則
令=,得,又,則為所求……………2分
(Ⅱ)解:因為,=m所以,
(1)當時,則=;-2分
(2)當時,則=;--2分
(Ⅲ)解:設,因為,;
所以即于是得
從而---2分
==
=…………………………………2分
令,則,則函數(shù),在遞減,在上遞增,所以從而當時,
小明用下面的方法求出方程的解,請你仿照他的方法求出下面方程的解為 ;
方程 |
換元法得新方程 |
解新方程 |
檢驗 |
求原方程的解 |
令 則 |
t=2 |
t =2 > 0 |
所以x=4 |
已知函數(shù)的最小值為0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對任意的有≤成立,求實數(shù)的最小值;
(Ⅲ)證明().
【解析】(1)解: 的定義域為
由,得
當x變化時,,的變化情況如下表:
x |
|||
- |
0 |
+ |
|
極小值 |
因此,在處取得最小值,故由題意,所以
(2)解:當時,取,有,故時不合題意.當時,令,即
令,得
①當時,,在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對于任意的,總有,即在上恒成立,故符合題意.
②當時,,對于,,故在上單調(diào)遞增.因此當取時,,即不成立.
故不合題意.
綜上,k的最小值為.
(3)證明:當n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立.
當時,
在(2)中取,得 ,
從而
所以有
綜上,,
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