設(shè)函數(shù)f(x)=

2x

x+1

，且a1=

1

2

，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）計算a₂，a₃的值；
（II）設(shè)a₂=2，求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（III）求證：

1

2

≤an＜1．

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）求CD₁與平面ADD₁A₁所成角；
（II）求證：CD₁∥平面A₁BD；
（III）求證：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．

（2013•淄博二模）已知P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點，O為坐標(biāo)原點，記直線OP的斜率k=f（x）．
（I）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(m，m+

1

3

)（m＞0）上存在極值，求實數(shù)m的取值范圍；
（II）當(dāng) x≥1時，不等式f(x)≥

t

x+1

恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（III）求證[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

函數(shù)f（x）=xlnx-ax²-x（a∈R）．
（I）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（II）若函數(shù)f（x）的圖象在直線y=-x圖象的下方，求a的取值范圍；
（III）求證：2013²⁰¹²＜2012²⁰¹³．