Question

函數(shù)f（x）=xlnx-ax²-x（a∈R）．
（I）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（II）若函數(shù)f（x）的圖象在直線y=-x圖象的下方，求a的取值范圍；
（III）求證：2013²⁰¹²＜2012²⁰¹³．

Answer 1

分析：（I）利用f′（1）=0得到a，并利用極值的充分條件進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（II）由題意可得：xlnx-ax²-x＜-x，由x＞0，可化為a＞

lnx

x

．設(shè)h（x）=

lnx

x

，利用導(dǎo)數(shù)即可得到極值及其最值；
（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，可得

lnx

x

＞

ln(x+1)

x+1

，化為lnx^x+1＞ln（x+1）^x，
即x^x+1＞（x+1）^x，令x=2012，即可證明．

解答：解：（I）f′（x）=lnx-2ax，（x＞0）．
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=0，即0-2a=0，解得a=0．
∴f′（x）=lnx，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極小值．
（II）由題意可得：xlnx-ax²-x＜-x，
∴xlnx-ax²＜0，
∵x＞0，∴a＞

lnx

x

．
設(shè)h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，
令h′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴h（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增；
令h′（x）＜0，解得e＜x，∴h（x）在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴h（x）在x=e時(shí)取得極大值，即最大值，h（e）=

1

e

．
∴a＞

1

e

．
（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）＞h（x+1），
∴

lnx

x

＞

ln(x+1)

x+1

，化為lnx^x+1＞ln（x+1）^x，
∴x^x+1＞（x+1）^x，
令x=2012，可得2012²⁰¹³＞2013²⁰¹²．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．