題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)如圖9所示,流程圖給出了無窮整數(shù)數(shù)列滿足的條件,,且當(dāng)k=5時(shí),輸出的S=;當(dāng)k=10時(shí),輸出的S=。
(1)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)是否存在最小的正數(shù)M使得對(duì)一切正整數(shù)n都成立,若存在,求出M的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。
第22題圖 圖9
已知點(diǎn)(),過點(diǎn)作拋物線的切線,切點(diǎn)分別為、(其中).
(Ⅰ)若,求與的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,求圓的方程;
(Ⅲ)若直線的方程是,且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,
求圓面積的最小值.
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
中∵直線與曲線相切,且過點(diǎn),∴,利用求根公式得到結(jié)論先求直線的方程,再利用點(diǎn)P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。
(3)∵直線的方程是,,且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切∴點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑,即,借助于函數(shù)的性質(zhì)圓面積的最小值
(Ⅰ)由可得,. ------1分
∵直線與曲線相切,且過點(diǎn),∴,即,
∴,或, --------------------3分
同理可得:,或----------------4分
∵,∴,. -----------------5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,則的斜率,
∴直線的方程為:,又,
∴,即. -----------------7分
∵點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑,即,--------------8分
故圓的面積為. --------------------9分
(Ⅲ)∵直線的方程是,,且以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切∴點(diǎn)到直線的距離即為圓的半徑,即, ………10分
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào).
故圓面積的最小值.
已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=f(an),bn=-1,n∈N*,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,證明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).
【解析】解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.
由f(x)=2x只有一解,即=2x,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分
(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn=-1, ∴===,
∴{bn}為等比數(shù)列,q=.又∵a1=,∴b1=-1=,
bn=b1qn-1=n-1=n(n∈N*).……………………………9分
(3)證明:∵anbn=an=1-an=1-=,
∴a1b1+a2b2+…+anbn=++…+<++…+
==1-<1(n∈N*).
7、9、10班同學(xué)做乙題,其他班同學(xué)任選一題,若兩題都做,則以較少得分計(jì)入總分.
(甲)已知f(x)=ax-ln(-x),x∈[-e,0),,其中e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)若a=-1,求f(x)的極值;
(2)求證:在(1)的條件下,;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,說明理由.
(乙)定義在(0,+∞)上的函數(shù),其中e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù),求a的值;
(2)若函數(shù)f(x)為(0,1)上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;并判斷此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是否為單調(diào)函數(shù);
(3)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),記g(x)=lnf(x)+x2-ax. 試證明:對(duì),當(dāng)n≥2時(shí),有
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