題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分13分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中,是數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意,均有 (1).求常數(shù)的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3).記,求數(shù)列的前項(xiàng)和。
(本小題13分)已知等比數(shù)列滿足:,且是,的等差中項(xiàng)。
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,,求 成立的正整數(shù)的最小值。
(本小題13分)
已知等比數(shù)列滿足,且是,的等差中項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,,求使 成立的正整數(shù)的最小值.
(本大題滿分13分)設(shè)函數(shù)是定義域在上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)于任意正數(shù)有,已知.
(1)求的值;
(2)一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足:,其中是數(shù)列的前n項(xiàng)的和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,是否存在正數(shù),使 對(duì)一切成立?若存在,求出M的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
(本小題滿分13分)
某項(xiàng)競(jìng)賽分別為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段進(jìn)行,每個(gè)階段選手要回答一個(gè)問(wèn)題.規(guī)定正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一階段競(jìng)賽,否則即遭淘汰.已知某選手通過(guò)初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是,且各階段通過(guò)與否相互獨(dú)立.
(I)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率;
(II)設(shè)該選手在競(jìng)賽中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)為,求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
一.選擇題
1~10 BADDA BCBCD
二.填空題
11.2 12. 13. 14.8 15.45
三.解答題
16.解:因?yàn)?sub>,所以 ………………………………(1分)
由得,解得 ………………………………(3分)
因?yàn)?sub>,故集合應(yīng)分為和兩種情況
(1)時(shí), …………………………………(6分)
(2)時(shí), ……………………………………(8分)
所以得 …………………………………………………(9分)
若真假,則…………………………………………………………(10分)
若假真,則 ……………………………………………………………(11分)
故實(shí)數(shù)的取值范圍為或………………………………………(12分)
17.解:(1)由1的解集有且只有一個(gè)元素知
或 ………………………………………(2分)
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上遞增,此時(shí)不滿足條件2
綜上可知 …………………………………………(3分)
……………………………………(6分)
(2)由條件可知……………………………………(7分)
當(dāng)時(shí),令或
所以或……………………………………………………………(9分)
又時(shí),也有……………………………(11分)
綜上可得數(shù)列的變號(hào)數(shù)為3……………………………………………(12分)
18.解:(1)當(dāng)時(shí),………………………(1分)
當(dāng)時(shí),……………………(2分)
由,知又是周期為4的函數(shù),所以
當(dāng)時(shí)
…………………………(4分)
當(dāng)時(shí)
…………………………(6分)
故當(dāng)時(shí),函數(shù)的解析式為
………………………………(7分)
(2)當(dāng)時(shí),由,得
或或
解上述兩個(gè)不等式組得…………………………………………(10分)
故的解集為…………………(12分)
19.解:(1)當(dāng)時(shí),,……………………(2分)
當(dāng)時(shí),,
綜上,日盈利額(萬(wàn)元)與日產(chǎn)量(萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系為:
…………………………………………………………(4分)
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),每天的盈利額為0……………………………(6分)
當(dāng)時(shí),
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
所以當(dāng)時(shí),,此時(shí)……………………………(8分)
當(dāng)時(shí),由知
函數(shù)在上遞增,,此時(shí)……(10分)
綜上,若,則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí),可獲得最大利潤(rùn)
若,則當(dāng)日產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí),可獲得最大利潤(rùn)…………(12分)
20.解:(1)將點(diǎn)代入得
因?yàn)橹本,所以……………………………………(3分)
(2) ,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),為奇數(shù),……………(5分)
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù),(舍去)
綜上,存在唯一的符合條件…………………………………………………(7分)
(3)證明不等式即證明
成立,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
1當(dāng)時(shí),不等式左邊=,原不等式顯然成立………………………(8分)
2假設(shè)時(shí),原不等式成立,即
當(dāng)時(shí)
=
,即時(shí),原不等式也成立 ………………(11分)
根據(jù)12所得,原不等式對(duì)一切自然數(shù)都成立 ……………………………(13分)
21.解:(1)由得……………………(1分)
又的定義域?yàn)?sub>,所以
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),,為減函數(shù)
當(dāng)時(shí),,為增函數(shù)………………………(5分)
所以當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為
單調(diào)遞減區(qū)間為…………………(6分)
(2)由(1)知當(dāng)時(shí),,遞增無(wú)極值………(7分)
所以在處有極值,故且
因?yàn)?sub>且,所以在上單調(diào)
當(dāng)為增區(qū)間時(shí),恒成立,則有
………………………………………(9分)
當(dāng)為減區(qū)間時(shí),恒成立,則有
無(wú)解 ……………………(13分)
由上討論得實(shí)數(shù)的取值范圍為 …………………………(14分)
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