（本小題滿分14分）設橢圓C₁的方程為(a＞b＞0)，曲線C₂的方程為y=，且曲線C₁與C₂在第一象限內只有一個公共點P。（1）試用a表示點P的坐標；（2）設A、B是橢圓C₁的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數S(a)的值域；（3）記min{y₁,y₂,……,y_n}為y₁,y₂,……,y_n中最小的一個。設g(a)是以橢圓C₁的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

（本小題滿分14分）已知函數f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a為常數，e為自然對數底），函數y =f(x)在A(0，a)處的切線與y =g(x)在B(0，lna)處的切線互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求證：對任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 設y =g(x-1)的圖象為C₁，h(x)=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過PQ中點垂直于x軸的直線分別交C₁、C₂于M、N，問是否存在實數b，使得C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？說明你的理由.

（本小題滿分14分）已知函數f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a為常數，e為自然對數底），函數y =f(x)在A(0，a)處的切線與y =g(x)在B(0，lna)處的切線互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求證：對任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 設y =g(x-1)的圖象為C₁，h(x)=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過PQ中點垂直于x軸的直線分別交C₁、C₂于M、N，問是否存在實數b，使得C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？說明你的理由.

（本小題滿分14分）

(1)已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若m+n=s+t(m,n,s,t∈N^*，且m≠n,s≠t)，證明；= ；

(2)注意到(1)中S_n與n的函數關系，我們得到命題：設拋物線x²=2py(p>0)的圖像上有不同的四點A，B，C，D，若x_A，x_B，x_C，x_D分別是這四點的橫坐標，且x_A+x_B=x_C+x_D，則AB∥CD，判定這個命題的真假，并證明你的結論

(3)我們知道橢圓和拋物線都是圓錐曲線，根據(2)中的結論，對橢圓+ =1(a>b>0)提出一個有深度的結論，并證明之.