Question

（本小題滿分14分）

(1)已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若m+n=s+t(m,n,s,t∈N^*，且m≠n,s≠t)，證明；= ；

(2)注意到(1)中S_n與n的函數(shù)關(guān)系，我們得到命題：設(shè)拋物線x²=2py(p>0)的圖像上有不同的四點(diǎn)A，B，C，D，若x_A，x_B，x_C，x_D分別是這四點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且x_A+x_B=x_C+x_D，則AB∥CD，判定這個(gè)命題的真假，并證明你的結(jié)論

(3)我們知道橢圓和拋物線都是圓錐曲線，根據(jù)(2)中的結(jié)論，對(duì)橢圓+ =1(a>b>0)提出一個(gè)有深度的結(jié)論，并證明之.

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】（1）利用等差數(shù)列的前N項(xiàng)公式易證等式成立；（2）根據(jù)平行得出斜率相等，再利用兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)式子成立；（3）在橢圓中利用設(shè)而不求點(diǎn)差法的思想得出兩點(diǎn)斜率的關(guān)系式，從而利用斜率相等得出兩直線平行

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為

，

同理：，，

；…………3分

（2）設(shè)的斜率分別為，則，，

，，即；……………………………………6分

（3）A類卷：能提出有深度的問題，并能嚴(yán)格證明，滿分8分，如：

設(shè)橢圓圖像上有不同的四點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)連線經(jīng)過原點(diǎn)，則.

證明：設(shè)：，線段的中點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，且它們的連線經(jīng)過原點(diǎn)，則，

又，，，

則：，

，

所以：，即；

又當(dāng)中點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，同時(shí)垂直這條坐標(biāo)軸，成立.

B類卷：能模仿（2）提出問題，并能嚴(yán)格證明，滿分6分，如：

橢圓圖像上有不同的四點(diǎn)，設(shè)它們的坐標(biāo)分別是

，若，則.

證明：設(shè)：，又，，

，

當(dāng)

則：，

，

所以：，即.

當(dāng)時(shí)，同時(shí)垂直軸，成立.

C類卷：簡(jiǎn)單模仿（2）提出問題，且不能證明，滿分2分

橢圓圖像上有四點(diǎn)，設(shè)它們的坐標(biāo)分別是

，若，則.