北京明光中學2009屆高三教學檢測數(shù)學試題

 一.選擇題(每題5分,共60分)。
1、已知集合,則集合=(   )
  A.{}      B.{}     
  C.{}    D.{}
2、設(shè)實數(shù)a∈[-1,3], 函數(shù)f(x)=x2-(a+3)x+2a,當f(x)>1時,實數(shù)x的取值范圍是(   )
  A、[-1,3]   B、(-5,+∞)   C、(-∞,-1)∪(5,+∞)   D、(-∞,1)∪(5,+∞)
3、已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,+∞)是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(   )
  A、(-∞,4)   B、(0,12)  C、(-4,4)  D、(0,4)
4、已知函數(shù),那么f-1(1)的值等于(   )。
 A、0   B、-2   C、   D、
5、將y=2x的圖象(   ),再作關(guān)于直線y=x對稱的圖象,可得函數(shù)y=log2(x+1)的圖象。
  A、先向左平移一個單位   B、先向右平移一個單位
  C、先向上平移一個單位   D、先向下平移一個單位
6、一個棱錐被平行于底面的截面截成一個小棱錐和一個棱臺(用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫棱臺),若小棱錐的體積為y,棱臺的體積為x,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致形狀為(   )。

  
7、已知數(shù)列,那么“對任意的,點都在直線上”是“為等差數(shù)列”的 (   )
  (A)必要而不充分條件   (B)充分而不必要條件
  (C)充要條件       (D)既不充分也不必要條件
8、如圖,在棱長為2的正方體中,O是底面ABCD的中心,E、F分別是、AD的中點。那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于(   )

(A)  (B)  (C)  (D)
9、若為圓的弦AB的中點,則直線AB的方程是(   )
  (A)  (B)
  (C)  (D)
10、函數(shù))為增函數(shù)的區(qū)間是(   )
  (A)  (B)  (C)  (D)
11、已知向量a、b滿足:|a|=1,|b|=2,|ab|=2,則|a+b|=(   )
  A.1  B.  C.  D.
12、已知函數(shù)f(x)定義域為R,則下列命題:
 、賧=f(x)為偶函數(shù),則y=f(x+2)的圖象關(guān)于y軸對稱.
 、趛=f(x+2)為偶函數(shù),則y=f(x)關(guān)于直線x=2對稱.
 、廴艉瘮(shù)f(2x+1)是偶函數(shù),則f(2x)的圖象關(guān)于直線 對稱.
 、苋鬴(x-2)=f(2-x),則y=f(x)關(guān)于直線x=2對稱.
 、輞=f(x-2)和y=f(2-x)的圖象關(guān)于x=2對稱.
  其中正確的命題序號是(   )
  A、①②④   B、①③④   C、②③⑤   D、②③④

  二. 填空題(每題5分,共20分)。
  13、設(shè)坐標平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā),沿x軸跳動,每次向正方向或負方向跳1個單位,經(jīng)過5次跳動質(zhì)點落在點(3,0)(允許重復(fù)過此點)處,則質(zhì)點不同的運動方法共有________種(用數(shù)字作答)。
14、若,則。(用數(shù)字作答)
15、兩個籃球運動員在罰球時投球的命中率為0.7和0.6,每人投籃三次,則兩人都恰好進2球的概率是______。(用數(shù)字作答,精確到千分位)
16、曲線關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是___________。

三、解答題(共70分)
17、(本題滿分14分) 在ΔABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且
Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,求bc的最大值。
18、(本題滿分14分)
  如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱底面ABCD,,E是PC的中點,作交PB于點F。
  (I)證明 平面;
  (II)證明平面EFD;
  

19、(本題滿分14分)
  盒子中有大小相同的球10個,其中標號為1的球3個,標號為2的球4個,標號為5的球3個,第一次從盒子中任取1個球,放回后第二次再任取1個球(假設(shè)取到每個球的可能性都相同)。記第一次與第二次取到球的標號之和為。
  (Ⅰ)試用列舉法表示隨機變量的取值集合;
 。á颍┓謩e求隨機變量任取集合中每一個值的概率。
20、(本題滿分14分)
  設(shè)a>0,是奇函數(shù)。
 。1)試確定a的值;
 。2)試判斷f(x)的反函數(shù)f-1(x)的單調(diào)性,并證明。
21、(本題滿分14分)
  一條斜率為1的直線l與離心率的雙曲線(a>0, b>0)交于P、Q兩點,直線l與y軸交于R點,且,求直線和雙曲線方程。

試題詳情

  一.選擇題( 5分 × 12 = 60 分 )

 

題號

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

C

A

D

C

題號

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

A

C

D

C


  二.填空題( 5分 × 4 = 20分 )

  13、5  14、1  15、0.19  16、

  三、解答題(共70分)

  17、(本題滿分14分)
  在ΔABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且。
  (Ⅰ)求的值;
  (Ⅱ)若,求bc的最大值。

  解: (Ⅰ)   =
  =   =   =

  (Ⅱ) ∵   ∴ ,
  又∵   ∴   當且僅當 b=c=時,bc=,故bc的最大值是.

  18、(本題滿分14分)
  如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱底面ABCD,,E是PC的中點,作交PB于點F。
  (I)證明 平面;
  (II)證明平面EFD;
  (III)求二面角的大小。

  方法一:
  (I)證明:連結(jié)AC,AC交BD于O。連結(jié)EO。
  *底面ABCD是正方形,點O是AC的中點
  在中,EO是中位線,
  而平面EDB且平面EDB,
  所以,平面EDB。

  (II)證明:底在ABCD且底面ABCD,
  
  同樣由底面ABCD,得
  *底面ABCD是正方形,有平面PDC
  而平面PDC, ②     ………………………………6分
  由①和②推得平面PBC
  而平面PBC,
  又,所以平面EFD

  (III)解:由(II)知,,故是二面角的平面角
  由(II)知,
  設(shè)正方形ABCD的邊長為,則
  
  在中,
  
  在中,
  
  所以,二面角的大小為

  方法二:如圖所示建立空間直角坐標系,D為坐標原點。設(shè)
  (I)證明:連結(jié)AC,AC交BD于G。連結(jié)EG。
  依題意得
  *底面ABCD是正方形,
  *是此正方形的中心,
  *故點G的坐標為
  
  。這表明。
  而平面EDB且平面EDB,平面EDB。

  (II)證明:依題意得。又
  
  
  由已知,且所以平面EFD。

  (III)解:設(shè)點F的坐標為
  
  從而所以
  
  由條件知,
  解得
  *點F的坐標為
  
  
  即,故是二面角的平面角。
  
  
  
  
  所以,二面角的大小為

  19、(本題滿分14分)
  盒子中有大小相同的球10個,其中標號為1的球3個,標號為2的球4個,標號為5的球3個,第一次從盒子中任取1個球,放回后第二次再任取1個球(假設(shè)取到每個球的可能性都相同)。記第一次與第二次取到球的標號之和為。
 。á瘢┰囉昧信e法表示隨機變量的取值集合;
 。á颍┣箅S機變量任取集合中每一個值的概率。
  解:
 。á瘢┯深}意可得,隨機變量的取值集合是={2、3、4、6、7、10}。

 。á颍╇S機變量取集合={2、3、4、6、7、10}中的每一個值時,其概率如下:

2

3

4

6

7

10

P(

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09


  20、(本題滿分14分)
  設(shè)a>0,是奇函數(shù)。
  (1)試確定a的值;
 。2)試判斷f(x)的反函數(shù)f-1(x)的單調(diào)性,并證明。
  解:
  (1)∵ f(x)為奇函數(shù), ∴ f(x)+f(-x)=0
  即對定義域內(nèi)x均成立,
  解得a=1,即 。

 


  因 ,
  則
  ∴ f-1(x1)<f-1(x2),即f-1(x)為增函數(shù)。

  21、(本題滿分14分)
  一條斜率為1的直線l與離心率的雙曲線(a>0, b>0)交于P、Q兩點,直線l與y軸交于R點,且,求直線和雙曲線方程。

  解:∵ , ∴ b2=2a2,∴ 雙曲線方程可化為2x2-y2=2a2,
  設(shè)直線方程為 y=x+m,
  由得 x2-2mx-m2-2a2=0,
  ∴ Δ=4m2+4(m2+2a2)>0
  ∴ 直線一定與雙曲線相交。
  設(shè)P(x1, y1), Q(x2, y2), 則x1+x2=2m, x1x2=-m2-2a2,
  ∵ , ,
  ∴ , ∴
  消去x2得,m2=a2,
  =x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)
  =2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2-4a2=-3
  ∴ m=±1, a2=1, b2=2.
  直線方程為y=x±1,雙曲線方程為。

 


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