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　　一.選擇題（ 5分 × 12 = 60 分 ）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

C

A

D

C

題號(hào)

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

A

C

D

C

　　二.填空題（ 5分 × 4 = 20分 ）

　　13、5　　14、1　　15、0.19　　16、

　　三、解答題（共70分）

　　17、（本題滿分14分）
　　在ΔABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且。
　�。á瘢┣�的值；
　�。á颍┤�，求bc的最大值。

　　解: (Ⅰ) 　　=
　　= 　　= 　　=

　　(Ⅱ) ∵ 　　∴ ,
　　又∵ 　　∴ 　　當(dāng)且僅當(dāng) b=c=時(shí),bc=,故bc的最大值是.

　　18、（本題滿分14分）
　　如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F。
　　(I)證明 平面；
　　(II)證明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。

　　方法一：
　　(I)證明：連結(jié)AC，AC交BD于O。連結(jié)EO。
　　底面ABCD是正方形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
　　在中，EO是中位線，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。

　　(II)證明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ①
　　同樣由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC
　　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD

　　(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知，
　　設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，則
　　
　　在中，
　　
　　在中，
　　
　　所以，二面角的大小為

　　方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)
　　(I)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G。連結(jié)EG。
　　依題意得
　　底面ABCD是正方形，
　　是此正方形的中心，
　　故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且
　　
　　。這表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

　　(II)證明：依題意得。又故
　　
　　
　　由已知，且所以平面EFD。

　　(III)解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為則
　　
　　從而所以
　　
　　由條件知，即
　　解得 。
　　點(diǎn)F的坐標(biāo)為且
　　
　　
　　即，故是二面角的平面角。
　　且
　　
　　
　　
　　所以，二面角的大小為

　　19、（本題滿分14分）
　　盒子中有大小相同的球10個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為1的球3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的球4個(gè)，標(biāo)號(hào)為5的球3個(gè)，第一次從盒子中任取1個(gè)球，放回后第二次再任取1個(gè)球（假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相同）。記第一次與第二次取到球的標(biāo)號(hào)之和為。
　�。á瘢┰囉昧信e法表示隨機(jī)變量的取值集合；
　�。á颍┣箅S機(jī)變量任取集合中每一個(gè)值的概率。
　　解:
　�。á瘢┯深}意可得,隨機(jī)變量的取值集合是={2、3、4、6、7、10}。

　�。á颍╇S機(jī)變量取集合={2、3、4、6、7、10}中的每一個(gè)值時(shí)，其概率如下：

2

3

4

6

7

10

P（）

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

　　20、（本題滿分14分）
　　設(shè)a>0，是奇函數(shù)。
　�。�1）試確定a的值；
　�。�2）試判斷f(x)的反函數(shù)f^-1(x)的單調(diào)性，并證明。
　　解：
　�。�1）∵ f(x)為奇函數(shù)， ∴ f(x)+f(-x)=0
　　即對(duì)定義域內(nèi)x均成立，
　　解得a=1，即 。

　　因 得，
　　則，
　　∴ f^-1(x₁)<f^-1(x₂)，即f^-1(x)為增函數(shù)。

　　21、（本題滿分14分）
　　一條斜率為1的直線l與離心率的雙曲線(a>0, b>0)交于P、Q兩點(diǎn)，直線l與y軸交于R點(diǎn)，且，求直線和雙曲線方程。

　　解：∵ ， ∴ b²=2a²，∴ 雙曲線方程可化為2x²-y²=2a²,
　　設(shè)直線方程為 y=x+m,
　　由得 x²-2mx-m²-2a²=0,
　　∴ Δ=4m²+4(m²+2a²)>0
　　∴ 直線一定與雙曲線相交。
　　設(shè)P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), 則x₁+x₂=2m, x₁x₂=-m²-2a²,
　　∵ ， ,
　　∴ , ∴
　　消去x₂得，m²=a²,
　　=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(x₁+m)(x₂+m)
　　=2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=m²-4a²=-3
　　∴ m=±1, a²=1, b²=2.
　　直線方程為y=x±1，雙曲線方程為。