南通市2009屆高三第二次調(diào)研測(cè)試

數(shù) 學(xué) 試 題

必做題部分

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

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二、解答題：本大題共6小題,共90分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.

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必做題部分

【填空題答案】

1．{2，4};       2．1－2i ;           3．；         4．；       5．7；

6．；        7．；            8．；        9．17；           10． ；

11．6；        12．；         13．3；         14．18．

 

二、解答題：本大題共6小題,共90分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.

15. （本題滿分14分）

某高級(jí)中學(xué)共有學(xué)生3000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表：

 

高一年級(jí)

高二年級(jí)

高三年級(jí)

女生

523

x

y

男生

487

490

z

已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到高二年級(jí)女生的概率是0.17.

（1）問(wèn)高二年級(jí)有多少名女生？

（2）現(xiàn)對(duì)各年級(jí)用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生，問(wèn)應(yīng)在高三年級(jí)抽取多少

名學(xué)生？

【解】（1）由題設(shè)可知，    所以x=510.       ………………………6分

    （2）高三年級(jí)人數(shù)為y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9分

     現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生，應(yīng)在高三年級(jí)抽取的人數(shù)為：

 名.                                  ………………………12分

     答：（1）高二年級(jí)有510名女生；（2）在高三年級(jí)抽取99名學(xué)生．……………14分

 

16. （本題滿分14分）

_{如圖， ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，}

_{AB=4a，BC= CF=2a， P為AB的中點(diǎn).}

_{（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；}

_{（2）求四面體PCEF的體積.}

_{【證明】（1）因?yàn)?/sub>ABCD為矩形，AB=2BC, P為AB的中點(diǎn)，}

_{所以三角形PBC為等腰直角三角形，∠BPC=45°.     …………………………2分}

_{同理可證∠APD=45°.}

_{所以∠DPC=90°，即PC⊥PD.                       …………………………3分}

_{又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD內(nèi)，所以PC⊥DE. ………………………4分}

_{因?yàn)?/sub>DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE .                  …………………………5分}

_{又因?yàn)?/sub>PC在平面PCF內(nèi)，所以平面PCF⊥平面PDE.  …………………………7分}

【解】（2）因?yàn)镃F⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

所以DE//CF. 又DC⊥CF，

所以              ……………………… 10分

在平面ABCD內(nèi)，過(guò)P作PQ⊥CD于Q，則

PQ//BC，PQ=BC=2a.

因?yàn)锽C⊥CD，BC⊥CF，

所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，

亦即P到平面PCEF的距離為PQ=2a.                  ………………………12分

           ………………………14分

（注：本題亦可利用求得）

 

17 . （本題滿分15分）

△ABC中，角A的對(duì)邊長(zhǎng)等于2，向量m=，向量n=.

（1）求m?n取得最大值時(shí)的角A的大�。�

（2）在（1）的條件下，求△ABC面積的最大值.

【解】（1）m?n＝2－. …………………3分

因?yàn)?A＋B＋C，所以B＋C－A，

于是m?n＝＋cosA＝－2＝－2.……………5分

因?yàn)?sub>，所以當(dāng)且僅當(dāng)＝，即A＝時(shí)，m?n取得最大值.

故m?n取得最大值時(shí)的角A＝.                       …………………………7分

（2）設(shè)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，

由余弦定理，得 b²＋c²－a²＝2bccosA，                 …………………………9分

即bc＋4＝b²＋c²≥2bc，                              ……………………… 11分

所以bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)取等號(hào).                ……………………… 12分

又S_△ABC＝bcsinA＝bc≤.

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝2時(shí)，△ABC的面積最大為.        ………………………15分

 

18. （本題滿分15分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且

OC=1，OA=a+1(a>1)，點(diǎn)D在邊OA上，滿足OD=a. 分別以O(shè)D、OC為長(zhǎng)、短半軸的

橢圓在矩形及其內(nèi)部的部分為橢圓弧CD. 直線l：y=－x+b與橢圓弧相切，與AB交于

點(diǎn)E.

（1）求證：；

（2）設(shè)直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，

求直線l的方程；

（3）在（2）的條件下，設(shè)圓M在矩形及其內(nèi)部，

且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M

的方程．

【解】題設(shè)橢圓的方程為.                    …………………………1分

由消去y得.   …………………………2分

由于直線l與橢圓相切，故△＝(－2a²b)²－4a²(1+a²) (b²－1)＝0，

化簡(jiǎn)得.          ①                        …………………………4分

（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），

于是OB的中點(diǎn)為.                           …………………………5分

因?yàn)閘將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過(guò)點(diǎn)，

即，亦即.         ②          …………………………6分

由①②解得，故直線l的方程為    …………………………8分

（3）由（2）知.

因?yàn)閳AM與線段EA相切，所以可設(shè)其方程為.………9分

因?yàn)閳AM在矩形及其內(nèi)部，所以      ④     ……………………… 10分

圓M與 l相切，且圓M在l上方，所以，即.

………………………12分

代入④得即            ………………………13分

所以圓M面積最大時(shí)，，這時(shí)，.

故圓M面積最大時(shí)的方程為 ………………………15分

 

19. （本題滿分16分）

已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為. 記函數(shù)

 k為常數(shù)）.

    （1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；

（2）求函數(shù)f(x)的值域.

【解】（1）因?yàn)閒(x)在區(qū)間上為減函數(shù)，

所以對(duì)任意的且恒有成立.

即恒成立. …………………………3分

因?yàn)?sub>，所以對(duì)且時(shí)，恒成立.

又<1，所以                    …………………………6分

（2）.             …………………………7分

下面分兩種情況討論：

（1）當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的增函數(shù)，值域?yàn)?sub>

…………………………9分

（2）當(dāng)時(shí)，又分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>，所以即.

所以f(x)是減函數(shù)，.

又，

當(dāng)，所以f(x)值域?yàn)?sub>.     ………………………10分

②當(dāng)k=1時(shí)，，

且f(x)是減函數(shù)，故f(x)值域是.               ………………………12分

③當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，，

.

下面再分兩種情況：

（a）當(dāng)時(shí)，的唯一實(shí)根，故，

是關(guān)于x的增函數(shù)，值域?yàn)?sub>；

（b）當(dāng)時(shí)，的唯一實(shí)根，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以f(x).

故f(x)的值域?yàn)?sub>.                        ………………………15分

綜上所述，f(x)的值域?yàn)?sub>；（）；

（）；（）.            ………………………16分

 

20．（本題滿分16分）

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為S_n.

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）設(shè){a_n}各項(xiàng)為正數(shù)，a₁=，a₁≠a₂，若存在互異正整數(shù)m，n，p滿足：①m+p=2n；

②. 求集合的元素個(gè)數(shù)；

（3）設(shè)b_n=(a為常數(shù)，a>0，a≠1，a₁≠a₂)，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n. 對(duì)于正整數(shù)c，

d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e， 試比較(T_c)^-1+(T_f)^-1與(T_d)^-1+(T_e)^-1的大小.

【證】（1）{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則

，于是（常數(shù)），

故數(shù)列是等差數(shù)列.                              …………………………3分

【解】（2）因?yàn)閧a_n}為等差數(shù)列，所以是等差數(shù)列，

于是可設(shè)為常數(shù))，從而.

因?yàn)閙+p=2n，所以由兩邊平方得

，即，

亦即，………………………4分

于是，兩邊平方并整理得，即.                                  

 …………………………6分

因?yàn)閙≠p，所以，從而，而a₁=，所以.

故.                                        …………………………7分

所以

.

因?yàn)?5有4個(gè)正約數(shù)，所以數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)為4個(gè).

即集合中的元素個(gè)數(shù)為4.  ………………………9分

（3）因?yàn)?sub>（常數(shù)），

所以數(shù)列{b_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列.

因?yàn)閍₁≠a₂，所以等比數(shù)列{b_n}的公比q≠1.               ………………………10分

（解法一）  ①

.       ②

因?yàn)?sub>，所以要證②，只要證，   ③…………………13分

而③

.    ④

④顯然成立，所以③成立，從而有.…………………16分

（解法二）注意到當(dāng)n>m時(shí)，.       ……………………12分

于是

. ……………………14分

而，故.   ……………………16分

（注：第（3）問(wèn)只寫(xiě)出正確結(jié)論的，給1分）

 

附加題部分

21. （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請(qǐng)從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記. 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

A. 選修4－1：幾何證明選講

_{如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長(zhǎng)線}

_{相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.}

求證： .

【證明】連結(jié)AD，因?yàn)锳B為圓的直徑，所以∠ADB=90°，

又EF⊥AB，∠EFA=90°，所以A、D、E、F四點(diǎn)共圓.

所以∠DEA=∠DFA.                                  …………………………10分

 

B. 選修4－2：矩陣與變換

已知, 求矩陣B.

【解】設(shè) 則，      …………………………5分

故             ………………………10分

C. 選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓（R）的

圓心為 ，求的取值范圍..

【解】由題設(shè)得（為參數(shù)，R）.         …………………………5分

于是，

所以 .                              ………………………10分

 

D．選修4－5：不等式證明選講

已知函數(shù). 若不等式對(duì)a¹0, a、bÎR恒成立，

求實(shí)數(shù)x的范圍.

【解】 由|且a¹0得.

又因?yàn)?sub>，則有2.  …………………………5分

解不等式    得              ……………………… 10分

 

22. 必做題, 本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上

的一點(diǎn)，.

（1）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60º；

（2）在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)任意的m，

⊥AP，并證明你的結(jié)論.

【解】（１）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),

B₁(1,1,1),  D₁(0,0,2).

所以

又由的一個(gè)法向量.

設(shè)與所成的角為，

則=，解得.

故當(dāng)