題目列表(包括答案和解析)
必做題部分
【填空題答案】
1.{2,4}; 2.1-2i ; 3.; 4.; 5.7;
6.; 7.; 8.; 9.17; 10. ;
11.6; 12.; 13.3; 14.18.
二、解答題:本大題共6小題,共90分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
15. (本題滿分14分)
某高級(jí)中學(xué)共有學(xué)生3000名,各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表:
高一年級(jí)
高二年級(jí)
高三年級(jí)
女生
523
x
y
男生
487
490
z
已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽到高二年級(jí)女生的概率是0.17.
(1)問高二年級(jí)有多少名女生?
(2)現(xiàn)對(duì)各年級(jí)用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生,問應(yīng)在高三年級(jí)抽取多少
名學(xué)生?
【解】(1)由題設(shè)可知, 所以x=510. ………………………6分
(2)高三年級(jí)人數(shù)為y+z=3000-(523+487+490+510)=990,………………9分
現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生,應(yīng)在高三年級(jí)抽取的人數(shù)為:
名. ………………………12分
答:(1)高二年級(jí)有510名女生;(2)在高三年級(jí)抽取99名學(xué)生.……………14分
16. (本題滿分14分)
如圖, ABCD為矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
AB=
(1)求證:平面PCF⊥平面PDE;
(2)求四面體PCEF的體積.
【證明】(1)因?yàn)?/sub>ABCD為矩形,AB=2BC, P為AB的中點(diǎn),
所以三角形PBC為等腰直角三角形,∠BPC=45°. …………………………2分
同理可證∠APD=45°.
所以∠DPC=90°,即PC⊥PD. …………………………3分
又DE⊥平面ABCD,PC在平面ABCD內(nèi),所以PC⊥DE. ………………………4分
因?yàn)?/sub>DE∩PD=D ,所以PC ⊥PDE . …………………………5分
又因?yàn)?/sub>PC在平面PCF內(nèi),所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分
【解】(2)因?yàn)镃F⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
所以DE//CF. 又DC⊥CF,
所以 ……………………… 10分
在平面ABCD內(nèi),過P作PQ⊥CD于Q,則
PQ//BC,PQ=BC=
因?yàn)锽C⊥CD,BC⊥CF,
所以BC⊥平面PCEF,即PQ⊥平面PCEF,
亦即P到平面PCEF的距離為PQ=
………………………14分
(注:本題亦可利用求得)
17 . (本題滿分15分)
△ABC中,角A的對(duì)邊長等于2,向量m=,向量n=.
(1)求m?n取得最大值時(shí)的角A的大。
(2)在(1)的條件下,求△ABC面積的最大值.
【解】(1)m?n=2-. …………………3分
因?yàn)?A+B+C,所以B+C-A,
于是m?n=+cosA=-2=-2.……………5分
因?yàn)?sub>,所以當(dāng)且僅當(dāng)=,即A=時(shí),m?n取得最大值.
故m?n取得最大值時(shí)的角A=. …………………………7分
(2)設(shè)角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a、b、c,
由余弦定理,得 b2+c2-a2=2bccosA, …………………………9分
即bc+4=b2+c2≥2bc, ……………………… 11分
所以bc≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào). ……………………… 12分
又S△ABC=bcsinA=bc≤.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時(shí),△ABC的面積最大為. ………………………15分
18. (本題滿分15分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上(如圖),且
OC=1,OA=a+1(a>1),點(diǎn)D在邊OA上,滿足OD=a. 分別以O(shè)D、OC為長、短半軸的
橢圓在矩形及其內(nèi)部的部分為橢圓弧CD. 直線l:y=-x+b與橢圓弧相切,與AB交于
點(diǎn)E.
(1)求證:;
(2)設(shè)直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分,
求直線l的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)圓M在矩形及其內(nèi)部,
且與l和線段EA都相切,求面積最大的圓M
的方程.
【解】題設(shè)橢圓的方程為. …………………………1分
由消去y得. …………………………2分
由于直線l與橢圓相切,故△=(-
化簡(jiǎn)得. ① …………………………4分
(2)由題意知A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),
于是OB的中點(diǎn)為. …………………………5分
因?yàn)閘將矩形OABC分成面積相等的兩部分,所以l過點(diǎn),
即,亦即. ② …………………………6分
由①②解得,故直線l的方程為 …………………………8分
(3)由(2)知.
因?yàn)閳AM與線段EA相切,所以可設(shè)其方程為.………9分
因?yàn)閳AM在矩形及其內(nèi)部,所以 ④ ……………………… 10分
圓M與 l相切,且圓M在l上方,所以,即.
………………………12分
代入④得即 ………………………13分
所以圓M面積最大時(shí),,這時(shí),.
故圓M面積最大時(shí)的方程為 ………………………15分
19. (本題滿分16分)
已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為. 記函數(shù)
k為常數(shù)).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù),求的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.
【解】(1)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上為減函數(shù),
所以對(duì)任意的且恒有成立.
即恒成立. …………………………3分
因?yàn)?sub>,所以對(duì)且時(shí),恒成立.
又<1,所以 …………………………6分
(2). …………………………7分
下面分兩種情況討論:
(1)當(dāng)時(shí),是關(guān)于x的增函數(shù),值域?yàn)?sub>
…………………………9分
(2)當(dāng)時(shí),又分三種情況:
①當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,所以即.
所以f(x)是減函數(shù),.
又,
當(dāng),所以f(x)值域?yàn)?sub>. ………………………10分
②當(dāng)k=1時(shí),,
且f(x)是減函數(shù),故f(x)值域是. ………………………12分
③當(dāng)時(shí),是增函數(shù),,
.
下面再分兩種情況:
(a)當(dāng)時(shí),的唯一實(shí)根,故,
是關(guān)于x的增函數(shù),值域?yàn)?sub>;
(b)當(dāng)時(shí),的唯一實(shí)根,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
所以f(x).
故f(x)的值域?yàn)?sub>. ………………………15分
綜上所述,f(x)的值域?yàn)?sub>;();
();(). ………………………16分
20.(本題滿分16分)
設(shè){an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)的和為Sn.
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)設(shè){an}各項(xiàng)為正數(shù),a1=,a1≠a2,若存在互異正整數(shù)m,n,p滿足:①m+p=2n;
②. 求集合的元素個(gè)數(shù);
(3)設(shè)bn=(a為常數(shù),a>0,a≠1,a1≠a2),數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn. 對(duì)于正整數(shù)c,
d,e,f,若c<d<e<f,且c+f=d+e, 試比較(Tc)-1+(Tf)-1與(Td)-1+(Te)-1的大小.
【證】(1){an}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為,則
,于是(常數(shù)),
故數(shù)列是等差數(shù)列. …………………………3分
【解】(2)因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以是等差數(shù)列,
于是可設(shè)為常數(shù)),從而.
因?yàn)閙+p=2n,所以由兩邊平方得
,即,
亦即,………………………4分
于是,兩邊平方并整理得,即.
…………………………6分
因?yàn)閙≠p,所以,從而,而a1=,所以.
故. …………………………7分
所以
.
因?yàn)?5有4個(gè)正約數(shù),所以數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)為4個(gè).
即集合中的元素個(gè)數(shù)為4. ………………………9分
(3)因?yàn)?sub>(常數(shù)),
所以數(shù)列{bn}是正項(xiàng)等比數(shù)列.
因?yàn)閍1≠a2,所以等比數(shù)列{bn}的公比q≠1. ………………………10分
(解法一) ①
. ②
因?yàn)?sub>,所以要證②,只要證, ③…………………13分
而③
. ④
④顯然成立,所以③成立,從而有.…………………16分
(解法二)注意到當(dāng)n>m時(shí),. ……………………12分
于是
. ……………………14分
而,故. ……………………16分
(注:第(3)問只寫出正確結(jié)論的,給1分)
附加題部分
21. (選做題)本大題包括A,B,C,D共4小題,請(qǐng)從這4題中選做2小題. 每小題10分,共20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A. 選修4-1:幾何證明選講
如圖,AB是⊙O的直徑,弦BD、CA的延長線
相交于點(diǎn)E,EF垂直BA的延長線于點(diǎn)F.
求證: .
【證明】連結(jié)AD,因?yàn)锳B為圓的直徑,所以∠ADB=90°,
又EF⊥AB,∠EFA=90°,所以A、D、E、F四點(diǎn)共圓.
所以∠DEA=∠DFA. …………………………10分
B. 選修4-2:矩陣與變換
已知, 求矩陣B.
【解】設(shè) 則, …………………………5分
故 ………………………10分
C. 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)圓(R)的
圓心為 ,求的取值范圍..
【解】由題設(shè)得(為參數(shù),R). …………………………5分
于是,
所以 . ………………………10分
D.選修4-5:不等式證明選講
已知函數(shù). 若不等式對(duì)a¹0, a、bÎR恒成立,
求實(shí)數(shù)x的范圍.
【解】 由|且a¹0得.
又因?yàn)?sub>,則有2. …………………………5分
解不等式 得 ……………………… 10分
22. 必做題, 本小題10分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
如圖,在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上
的一點(diǎn),.
(1)試確定m,使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º;
(2)在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得對(duì)任意的m,
⊥AP,并證明你的結(jié)論.
【解】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則
A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0),
B1(1,1,1), D1(0,0,2).
所以
又由的一個(gè)法向量.
設(shè)與所成的角為,
則=,解得.
故當(dāng)
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