炎德?英才大聯(lián)考高三月考試卷(八)
理 科 數(shù) 學
湖南師大附中高三數(shù)學備課組組稿
命題人:洪利民 謝美麗 賀仁亮 審題人:洪利民 謝美麗 賀仁亮
時量:120分鐘 滿分:150分
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.定義集合M與N的新運算:,若,,則等于( )
A. B. C. D.
2.在等差數(shù)列中,若,則( )
A. B. C. D.
3.已知對任意實數(shù),有,,且時,,,則時,有( )
A., B.,
C., D.,
4.在平面直角坐標系中,已知頂點和,頂點在橢圓上,則的值是( )
A. B. C. D.與點位置有關
5.四面體的外接球球心在上,且,,則在外接球球面上,兩點間的球面距離是( )
A. B. C. D.
6.設隨機變量~,且當二次方程無實根時的的取值概率為0.5,則( )
A.0 B.
7.設,,均為正數(shù),且,,,則( )
A. B. C. D.
8.已知函數(shù),。規(guī)定:給定一個實數(shù),賦值,若,則繼續(xù)賦值,…,以此類推,若,則,否則停止賦值,如果得到稱為賦值了次()。已知賦值次后該過程停止,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,共35分.把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上。
9.“或”是“”成立的 條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一個).
10.
11.若的斜邊在平面內(nèi),頂點在平面外,則兩直角邊,在平面上的射影與斜邊組成的圖形是 。
12.已知是單位向量,,則在方向上的投影為 。
13.由線性約束條件所確定的區(qū)域面積為,當時,記,則的最大值為 。
14.雙曲線的實軸長、虛軸長與焦距的和為8,則半焦距的取值范圍是 。
15.設數(shù)列的前項和為,令,稱為數(shù)列,,…, 的“理想數(shù)”,已知數(shù)列,,…,的“理想數(shù)”為,那么數(shù)列,,,…,的“理想數(shù)”是 。
三、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù),是的導函數(shù)。
(1)求函數(shù)的最大值和最小正周期;
(2)若,求的值。
17.(本小題滿分12分)
某種項目的射擊比賽,開始時在距目標
(1)求這名射手分別在第二次、第三次射擊中命中目標的概率及三次射擊中命中目標的概率;
(2)設這名射手在比賽中得分數(shù)為,求隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望.
18.(本小題滿分12分)
如圖,在三棱柱中,側(cè)面,
為棱的中點,已知,,
,,求:
(1)異面直線與的距離;
(2)三面角的平面角的正切值。
19.(本小題滿分13分)
某出版公司為一本暢銷書定價如下:這里表示定購書的數(shù)量,表示定購本所付的錢數(shù)(單位:元).
(1)有多少個,會出現(xiàn)買多于本書比恰好買本書所花錢少?
(2)若一本書的成本價是5元,現(xiàn)在甲、乙兩人來買書,每人至少買1本,甲買的書不多于乙買的書,兩人共買60本,問出版公司至少能賺多少錢?最多能賺多少錢?
20.(本小題滿分13分)
已知向量,,動點到定直線的距離等于,并且滿足,其中是坐標原點,是參數(shù)。
(1)求動點的軌跡方程;
(2)當時,若直線與動點的軌跡相交于、兩點,線段的垂直平分線交軸,求的取值范圍;
(3)如果動點的軌跡是一條圓錐曲線,其離心率滿足,求的取值范圍。
21.(本小題滿分13分)
已知函數(shù),數(shù)列滿足:
,
(1)求證:;
(2)求證數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)求證不等式:
炎德?英才大聯(lián)考高三月考試卷(八)
一、選擇題:
1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B
二、填空題:
9.必要不充分 10. 11.線段或鈍角三角形 12.
13. 14. 15.
三、解答題:
16.解:(1)∵,……………………………………………(2分)
∴
……………………………………………(4分)
∴當()時,
最小正周期為……………………………………………(6分)
(2)∵
∴……………………………………………(9分)
∴…………(12分)
17.解:(1)記第一、二、三次射擊命中目標分別為事件A、B、C,三次均未命中目標的事件為D.依題意
。設在米處擊中目標的概率為,則,由時,所以,,即,…………………(2分)
,…………………………(5分)
由于各次射擊都是獨立的,所以該射手在三次射擊中命中目標的概率為
…………………………(8分)
(2)依題意,設射手甲得分為,則,,
,,所以的分布列為
所以…………………………(12分)
18.解:解法一:(1)∵平面,∴
又∵為的中點,∴,而,且,∴為等邊三角形。∴,∴,
∴,∴,
∴是異面直線與的公垂線段。
∴異面直線與的距離為1!6分)
(2)∵,∴…………………………(8分)
又∵,∴異面直線與所成的角即為二面角的大小。
∴即為所求。
又∵,…………………………(10分)
∴…………………………(12分)
解法二:(1)建立如圖所示空間直角坐標系。
由于,,,
,在三棱柱中有
,,,
,……………………(2分)
,∴,
故,即……………(4分)
又面,故。因此是異面直線與的公垂線段,
則,故異面直線與的距離為1!6分)
(2)由已知有,,故二面角的平面角的大小為向量與的夾角。
因,…………………………(10分)
故,
即…………………………(12分)
19.解:(1)由于在各段上都是單調(diào)增函數(shù),因此在第一段上不存在買多于本書比恰好買本書所花錢少的問題,一定是各段分界點附近因單價的差別造成買多于本書比恰好買本書所花錢少的現(xiàn)象.
,,∴……………(1分)
,∴…………………………(2分)
,,∴
,∴,,
∴,,∴…………………(5分)
∴這樣的有23,24,45,46,47,48,共6個!6分)
(2)設甲買本書,則乙買本,且,
①當時,,
出版公司賺得錢數(shù)…………………(7分)
②當時,,
出版公司賺得錢數(shù)…………………(8分)
③當時,,
出版公司賺得錢數(shù)…………………(9分)
∴……………………………………(10分)
∴當時,;當時,;
當時,。
故出版公司至少能賺302元,最多賺384元.……………………………………(13分)
20.解:(1)設,則由,且是原點,
得,,,從而,,,
,,根據(jù)
得,
即為所求軌跡方程!(4分)
(2)當時,動點的軌跡方程是,即,
∵的方程為,∴代入,
∴,∴,∴,
∴或,∴。
∴的中點為,∴垂直平分線方程為,
令得,∴
∴,
∴()…………………(8分)
(3)由于,即,所以此時圓錐曲線是橢圓,其方程可以化為………………………………(9分)
①當時,,,,此時,
而
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