1．已知                                                              （    ）

       A．                    B．                 C．                    D．

2．圓錐曲線                                                                （    ）

       A．     B．       C．      D．

3．設(shè)函數(shù)                      （    ）

       A．（－1，1）                                         B．（－1，+）

       C．                            D．

4．函數(shù)的最大值為                                                         （    ）

       A．              B．               C．                    D．2

5．已知圓的弦長(zhǎng)為時(shí)，則a=                                                                           （    ）

       A．                   B．              C．               D．

6．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（    ）

       A．                B．                C．                D．

7．已知方程的四個(gè)根組成的一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則

                                                                                                             （    ）

       A．1                        B．                      C．                      D．

8．已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則此雙曲線的方程是                                          （    ）

       A．                                     B．     

       C．                                     D．

9．函數(shù)                                             （    ）

       A．                         B．

       C．                   D．

10．已知長(zhǎng)方形的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P₀沿與AB夾角為的方向射到BC上的點(diǎn)P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P₂、P₃和P₄（入射解等于反射角），設(shè)P₄坐標(biāo)為（的取值范圍是                                                                   （    ）

       A．                 B．               C．               D．

11．                                                                   （    ）

       A．3                        B．                      C．                      D．6

12．一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為 （    ）

       A．3                    B．4                    C．3                D．6

13．展開式中的系數(shù)是              .

15．如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，

現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得

使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可

供選擇，則不同的著色方法共有

               種.（以數(shù)字作答）

16．下列五個(gè)正方體圖形中，是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M、N、P分別為具所在棱的中點(diǎn)，能得出⊥面MNP的圖形的序號(hào)是             .（寫出所有符合要求的圖形序號(hào)）

17．（本小題滿分12分）

       已知復(fù)數(shù)z的輻角為60°，且是和的等比中項(xiàng). 求.

18．(本小題滿分12分)

       如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA₁=2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

       （Ⅰ）求A₁B與平面ABD所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

       （Ⅱ）求點(diǎn)A₁到平面AED的距離.

19．（本小題滿分12分）

已知  設(shè)

P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減.

Q：不等式的解集為R，如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍.

20．（本小題滿分12分）

21．（本小題滿分14分）

22．（本小題滿分12分，附加題4分）

       （Ⅰ）設(shè)中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，

         即

        將數(shù)列各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：

                         3

                   5          6

                9       10        12

―     ―     ―      ―

          ―     ―    ―     ―      ―

       （i）寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；   （i i）求.

       （Ⅱ）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過(guò)150分）

設(shè)中所有的數(shù)都是從小到大排列成的數(shù)列，已知

絕密★啟用前

2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)      學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)答案

1．D  2．C  3．D  4．A  5．C  6．B  7．C  8．D  9．D  10．C  11．B  12．A

13．    14．（-1，0）       15．72       16．①④⑤

17． 解：設(shè)，則復(fù)數(shù)由題設(shè)

18．（Ⅰ）解：連結(jié)BG，則BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A₁B與平面ABD所成的角.

設(shè)F為AB中點(diǎn)，連結(jié)EF、FC，

（Ⅱ）解：

19．

解：函數(shù)在R上單調(diào)遞減

不等式

20．解：如圖建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向.

         在時(shí)刻：（1）臺(tái)風(fēng)中心P（）的坐標(biāo)為

         此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是

         其中若在t時(shí)刻城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有

         即

         答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.

21．根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在的兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩點(diǎn)距離的和為定值.

按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）設(shè)

由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直線OF的方程為：①

直線GE的方程為：②

從①，②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x,y）坐標(biāo)滿足方程

整理得 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).

    當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng)。

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（的距離之和為定值。

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P 到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（0， 的距離之和為定值2.

22．（本小題滿分12分，附加題4分）

  （Ⅰ）解：（i）第四行17  18  20  24    第五行 33  34  36  40  48

   （i i）解：設(shè)，只須確定正整數(shù) 

數(shù)列中小于的項(xiàng)構(gòu)成的子集為 

其元素個(gè)數(shù)為滿足等式的最大整數(shù)為14，所以取

因?yàn)?00－

（Ⅱ）解：令

         因

        現(xiàn)在求M的元素個(gè)數(shù)：

其元素個(gè)數(shù)為：   

某元素個(gè)數(shù)為

某元素個(gè)數(shù)為