2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）

數(shù)學(xué)（理科）

 

本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．

注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．

3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．

4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號（或題組號）對應(yīng)的信息點，再作答．漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．

5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．

 

參考公式：如果事件互斥，那么．

已知是正整數(shù)，則 ．

 

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知，復(fù)數(shù)的實部為，虛部為1，則的取值范圍是（    ）

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A．             B．             C．              D．

 

 

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2．記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（    ）

A．16              B．24                C．36                   D．48

 

 

 

一年級

二年級

三年級

女生

373

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男生

377

370

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3．某校共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如表1．已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19．現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為（    ）

A．24           B．18              C．16              D．12                           表1       

 

 

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4．若變量滿足則的最大值是（   ）

A．90            B．80                C．70              D．40

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5．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（    ）

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6．已知命題所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是（   ）

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A．         B．             C．        D．

 

 

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7．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（    ）

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A．                 B．             C．                D．

 

 

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8．在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（    ）

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A．      B．         C．              D．

 

 

（一）必做題（9~12題）

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二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．

 

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          ，          ．

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（注：框圖中的賦值符號“”也可以寫成“”或“”）

 

 

 

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10．已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于

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120，則         ．

 

 

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11．經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直

的直線方程是           ．

 

 

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12．已知函數(shù)，，則的

最小正周期是          ．

 

 

 

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二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）

13．（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線的極坐標方程分別為，，則曲線與交點的極坐標為          ．

 

 

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14．（不等式選講選做題）已知，若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是             ．

 

 

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15．（幾何證明選講選做題）已知是圓的切線，切點為，．是圓的直徑，與圓交于點，，則圓的半徑           ．

 

 

 

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16．（本小題滿分13分）

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已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點．

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（1）求的解析式；

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（2）已知，且，，求的值．

 

 

 

 

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17．（本小題滿分13分）

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隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為．

（1）求的分布列；

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（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學(xué)期望）；

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（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分14分）

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設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點．

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

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（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

 

 

 

 

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19．（本小題滿分14分）

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設(shè)，函數(shù)，，，試討論函數(shù)的單調(diào)性．

 

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，，，垂直底面，，分別是上的點，且，過點作的平行線交于．

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（1）求與平面所成角的正弦值；

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（2）證明：是直角三角形；

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（3）當時，求的面積．

 

 

 

 

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21．（本小題滿分12分）

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設(shè)為實數(shù)，是方程的兩個實根，數(shù)列滿足，，（…）．

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（1）證明：，；

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（2）求數(shù)列的通項公式；

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（3）若，，求的前項和．

 

 

絕密★啟用前                                   試卷類型B

2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)

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一、選擇題：C D C C     A D B B

1．C【解析】，而，即，

2．D【解析】，，故

3．C【解析】依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學(xué)生的人數(shù)應(yīng)該是，即總體中各個年級的人數(shù)比例為，故在分層抽樣中應(yīng)在三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為

4．C  5．A

6．D【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 為真命題

7．B【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點，即有正根。當有成立時，顯然有，此時，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為。

8．B      

 

二、填空題：

9．【解析】要結(jié)束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，而同時也整除，那么的最小值應(yīng)為和的最小公倍數(shù)12，即此時有。

10．【解析】按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。

11．【解析】易知點C為，而直線與垂直，我們設(shè)待求的直線的方程為，將點C的坐標代入馬上就能求出參數(shù)的值為，故待求的直線的方程為。

12．【解析】，故函數(shù)的最小正周期。

 

二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）

13．【解析】由解得，即兩曲線的交點為。

14．

15．【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質(zhì)我們有,即。

 

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16．解：（1）依題意有，則，將點代入得，而，，，故；

（2）依題意有，而，

，

。

 

17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列為：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為

依題意，，即，解得

所以三等品率最多為

 

18．解：（1）由得，

當得，G點的坐標為，

， ，

過點G的切線方程為即，

令得，點的坐標為，

由橢圓方程得點的坐標為，即，

即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,

以為直角的只有一個，同理以為直角的只有一個。

若以為直角，設(shè)點坐標為，、兩點的坐標分別為和，

。

關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，

因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。

 

19．解： ，

對于，

當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；

當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

對于，

當時，函數(shù)在上是減函數(shù)；

當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

 

20．解：（1）在中，

，

而PD垂直底面ABCD，

,

在中，,即為以為直角的直角三角形。

設(shè)點到面的距離為,

由有,

即 ，

;

(2),而,

即,，,是直角三角形；

（3）時,,

即,

的面積

21．解：（1）由求根公式，不妨設(shè)，得

，

（2）設(shè)，則，由

得，，消去，得，是方程的根，

由題意可知，

①當時，此時方程組的解記為

即、分別是公比為、的等比數(shù)列，

由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,

兩式相減，得

，，

，

，即，

②當時，即方程有重根，，

即，得，不妨設(shè)，由①可知

，，

即，等式兩邊同時除以，得，即

數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，

綜上所述，

（3）把，代入，得，解得


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