高三摸底數(shù)學(xué)(理科)　第頁(共8頁)

贛州市2009年高三年級摸底考試

理 科 數(shù) 學(xué)2009年3月

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時間120分鐘.

第Ⅰ卷　(選擇題，共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每一小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x－2＜2}，則“m∈A”是“m∈B”的

A.充分不必要條件　　　　　　　　　 B.必要不充分條件

C.充要條件  D.既不充分也不必要條件

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2.z∈C，若|z|－＝1－2i，則的值是

A.－2　　　　　　B.－2i　　　　　　C.2　　　　　　D.2i

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3.已知(x－)8展開式中的常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和為

A.28  B.38  C.1或38  D.1或28

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4.在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則數(shù)列{an}的前9項之和S9等于

A.66  B.99  C.144  D.297

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5.設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點，△ABC的三個頂點都在此拋物線上，且＋＋＝0，則||＋||＋||等于

A.9  B.6  C.4  D.3

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6.已知a，b為空間兩條異面直線，A是直線a，b外一點，則經(jīng)過A點與兩條異面直線a，b都相交的直線的可能情況為

A.至多有一條  B.至少有一條

C.有且僅有一條  D.有無數(shù)條

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7.已知f(x)＝1＋log2x(1≤x≤4)，則g(x)＝f(x2)的最大值為

A.1  B.3  C.5  D.9

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8.有下列命題：

①函數(shù)f(x)＝sin x＋(x∈(0，π))的最小值是2；

②在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則△ABC是等腰三角形或直角三角形；

③如果正實數(shù)a，b，c滿足a＋b＞c，則＋＞；

④如果y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，則f′(x0)＝0是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件.

其中正確的命題是

A.①②③④  B.①④  C.②③④  D.②③

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9.已知x，y滿足約束條件則z＝的最小值為

A.  B.  C.4  D.－

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10.方程2sin θ＝cos θ在區(qū)間[0,2π)上解的個數(shù)是

A.0個  B.1個  C.2個  D.4個

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11.設(shè)函數(shù)f(x)＝10n＝1|nx－1|≥m恒成立(記ni＝1ai＝a1＋a2＋a3＋…＋an)，則m的取值范圍是

A.(－∞，5]  B.(－∞，]

C.(－∞，]  D.(－∞，]

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12.已知C為線段AB上的一點，P為直線AB外一點，滿足||－||＝2，|－|＝2，＝，I為PC上一點，且＝＋λ(＋)(λ＞0)，則的值為

A.1  B.2  C.  D.－1

第Ⅱ卷　(非選擇題，共90分)

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，答案填寫在題中橫線上.

13.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，且P(|ξ|＜b)＝a(0＜a＜1，b＞0)，則P(ξ≥b)的值是　　　　(用a表示).

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14.已知集合{1，，，…，}，它的所有的三個元素的子集的所有元素之和是Sn，則 ＝　　　　.

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15.已知棱長為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在它四個頂點的空隙處各放一個小球，則這些球的最大半徑為　　　　.

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16.五個同學(xué)傳一個球，球從小王同學(xué)手中首先傳出，第五次傳球后，球回到小王手中的概率是　　　　.

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三、解答題：本大題共6小題，滿分74分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

已知△ABC三個內(nèi)角為A、B、C，若cos Acos Bcos C＞0，且p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)與向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共線向量.

(1)求∠A的值；

(2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos的最大值.

 

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18.(本小題滿分12分)

甲、乙兩個人射擊，甲射擊一次中靶概率是p1，乙射擊一次中靶概率是p2，已知、是方程x2－5x＋6＝0的兩個根，若兩人各射擊5次，甲的方差是.

(1)求p1、p2的值；

(2)兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)的概率是多少？

 

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19.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增.

(1)求實數(shù)a的值；

(2)若關(guān)于x的方程f(2|x|－1)＝m(x≠0)有六個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.

 

 

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20.(本小題滿分12分)

如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，DC⊥平面ABC，DC＝4，G為△ABC的重心.

(1)若M為GD的中點，求異面直線CG與MB所成角的大小；

(2)若M為線段GD上的動點，求(＋＋)?的最大值.

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21.(本小題滿分12分)

已知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，點P滿足|PF1|－|PF2|＝2，記點P的軌跡為S，若直線l過點F2且與軌跡S交于P、Q兩點.

(1)求軌跡S的方程；

(2)無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點M(m,0)，使MP⊥MQ恒成立，求實數(shù)m的值；

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(3)過P、Q作直線x＝的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，設(shè)PM交AB于E，QM交AB于F，λ＝|AE|?|BF|.求證：當(dāng)λ取最小值時，△PMQ的面積為9.

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22.(本小題滿分14分)

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設(shè)An為數(shù)列{an}的前n項和，An＝(an－1)，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝4n＋3.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)對數(shù)列{2nln an}，是否存在等差數(shù)列{cn}，使得c1C＋c2C＋…＋cnC＝2nln an對一切正整數(shù)n∈N*都成立？若存在，求出數(shù)列{cn}的通項公式，若不存在，說明理由.

 

高三摸底數(shù)學(xué)(理科)答案　第頁(共3頁)贛州市2009年高三年級摸底考試

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1.A　2.D　3.C　4.B　5.B　6.A　7.B　8.C　9.A　10.C　11.C　12.D

13.(1－a)　14.2　15.　16.

17.解：(1)∵p，q共線，

∴(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，1分

∴sin2A＝.2分

∵cos Acos Bcos C＞0，∴A為銳角.3分

∴sin A＝，∴A＝.5分

(2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos6分

＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B8分

＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin(2B－)＋1.10分

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，).11分

∴當(dāng)2B－＝時，即B＝時，ymax＝2.12分

18.解：(1)由題意可知ξ甲～B(5，p1)，

∴Dξ甲＝5p1(1－p1)＝1分

⇒p－p1＋＝03分

⇒p1＝.4分

又?＝6，∴p2＝.6分

(2)分兩類情況：①共擊中3次概率C()2()6?C()()＋C??C()2＝.9分

②共擊中4次概率C()2?C()2＝.11分

所求概率為＋＝.12分

19.解：(1)由函數(shù)f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在區(qū)間[－1,1]上是單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，所以x＝1取得極小值.1分

∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋2a－2＝0，3分

∴a＝.4分

(2)由(1)知f(x)＝－x4＋x3＋x2－2x－2，

∴f′(x)＝－x3＋2x2＋x－2.5分

令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝2.6分

∴函數(shù)f(x)有極大值f(－1)＝－，f(2)＝－，極小值f(1)＝－.8分

關(guān)于x的方程f(2|x|－1)＝m(x≠0)有六個不同的實數(shù)解，令2|x|－1＝t(t＞0)，

即關(guān)于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三個不同的實數(shù)解.9分

在t∈(0，＋∞)上函數(shù)f(t)的圖象與直線y＝m的圖象在t∈(0，＋∞)上有三個不同的交點，而f(t)的圖象與f(x)的圖象一致.11分

又f(0)＝－2，由數(shù)形結(jié)合可知，－＜m＜－.12分

20.解：(1)延長CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中點.1分

∵∠ACB＝90°，∴CN＝AB＝6，∴CG＝CN＝4.2分

作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是異面直線GC與BM所成的角或補(bǔ)角.3分

∵M(jìn)是DG的中點，ME＝GC＝2，

BE＝＝＝2.4分

過M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，

∴MB2＝MH2＋HB2＝4＋4＋36－2?2?6?cos 60°＝32，

∴cos∠EMB＝＝－.5分

∴異面直線GC與BM所成的角為arccos.6分

(2)＋＋＝－(＋＋)，

∵G是△ABC的重心，

∴＋＋＝3.7分

∴(＋＋)?＝－3?.8分

△DGC是等腰直角三角形，DG＝CD＝4.9分

設(shè)MG＝x，則MD＝4－x，

∴－3?＝－3||||cos 180°＝3?x?(4－x)10分

≤3()2＝24.11分

∴(＋＋)?的最大值是24.

(當(dāng)且僅當(dāng)M為GD的中點時取得).12分

(備注：以上各小題都可以通過建立空間直角坐標(biāo)系求解，建議參照給分)

21.解：(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，

點P的軌跡S是以F1、F2為焦點的雙曲線右支.1分

由c＝2,2a＝2，∴b2＝3.2分

故軌跡S的方程為x2－＝1(x≥1).4分

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.

∴解得k2＞3.5分

∵?＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2

＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)

＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2

＝＋m2.6分

∵M(jìn)P⊥MQ，∴?＝0，

故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0對任意的k2＞3恒成立，

∴解得m＝－1.7分

當(dāng)m＝－1時，MP⊥MQ，

當(dāng)直線l的斜率不存在時，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知結(jié)論也成立.

綜上，當(dāng)m＝－1時，MP⊥MQ.8分

(3)由(1)知，存在M(－1,0)使得MP⊥MQ，

∴∠AEP＝∠MEF＝∠BQF，∴△PAE～△FBE，

∴＝.9分

|AE|?|FB|＝|AP|?|BQ|＝?＝|PF2|?|OF2|，

|PF2|＝ex1－a＝2x1－1，|PF2|＝ex2－a＝2x2－1，

∴|AE||FB|＝(2x1－1)(2x2－1)10分

＝[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－＋

＝－＋＝＋＝＋＞.

當(dāng)斜率不存在時|AE|?|AF|＝，∴λ的最小值為.11分

此時，|PQ|＝6，|MF|＝3，S△PMQ＝|MQ|?|PQ|＝9.12分

22.解：(1)由An＝(an－1)，An＋1＝(an＋1－1)，1分

∴an＋1＝(an＋1－an)，即＝3，2分

且a1＝A1＝(a1－1)，

得a1＝3.3分

∴數(shù)列{an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.4分

通項公式為an＝3n.5分

(2)∵2nln an＝2nln 3n＝(nln 3)?2n

＝2nln 3?2n－1＝2nln 3(1＋1)n－16分

＝2nln 3(C＋C＋…＋C)7分

＝2nln 3(nC＋nC＋nC＋…＋nC)8分

＝2nln 3(C＋2C＋…＋kC＋…nC)9分

＝(2ln 3)C＋(2ln 3)?2C＋…＋(2ln 3)?kC＋…＋(2ln 3)?nC.12分

故存在等差數(shù)列{cn}，cn＝(2ln 3)?n對一切正整數(shù)n∈N*，c1C＋c2C＋…＋cnC＝2nln an都成立.14分

 


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