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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分14分)

在△OAB的邊OA,OB上分別有一點P,Q,已知:＝1:2, :＝3:2,連結AQ,BP,設它們交于點R,若＝a，＝b.

   (1)用a與 b表示；

   (2)過R作RH⊥AB,垂足為H,若| a|＝1, | b|＝2, a與 b的夾角的取值范圍.

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(本小題滿分14分)已知A（8，0），B、C兩點分別在y軸和x軸上運動，并且滿足。

（1）求動點P的軌跡方程。

（2）若過點A的直線L與動點P的軌跡交于M、N兩點，且

其中Q（-1，0）,求直線L的方程.

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(本小題滿分14分）

 已知函數(shù)，a＞0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設a=3，求在區(qū)間{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)。

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(本小題滿分14分)

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)。

（Ⅰ）對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；

（Ⅲ）設0＜a＜b，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和。是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有

a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由。

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(本小題滿分14分)

如圖（1），是等腰直角三角形，，、分別為、的中點，將沿折起， 使在平面上的射影恰為的中點，得到圖（2）．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求三棱錐的體積．

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1.A　2.D　3.C　4.B　5.B　6.A　7.B　8.C　9.A　10.C　11.C　12.D

13.(1－a)　14.2　15.　16.

17.解：(1)∵p，q共線，

∴(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，1分

∴sin2A＝.2分

∵cos Acos Bcos C＞0，∴A為銳角.3分

∴sin A＝，∴A＝.5分

(2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos6分

＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B8分

＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin(2B－)＋1.10分

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，).11分

∴當2B－＝時，即B＝時，ymax＝2.12分

18.解：(1)由題意可知ξ甲～B(5，p1)，

∴Dξ甲＝5p1(1－p1)＝1分

⇒p－p1＋＝03分

⇒p1＝.4分

又?＝6，∴p2＝.6分

(2)分兩類情況：①共擊中3次概率C()2()6?C()()＋C??C()2＝.9分

②共擊中4次概率C()2?C()2＝.11分

所求概率為＋＝.12分

19.解：(1)由函數(shù)f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在區(qū)間[－1,1]上是單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，所以x＝1取得極小值.1分

∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋2a－2＝0，3分

∴a＝.4分

(2)由(1)知f(x)＝－x4＋x3＋x2－2x－2，

∴f′(x)＝－x3＋2x2＋x－2.5分

令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝2.6分

∴函數(shù)f(x)有極大值f(－1)＝－，f(2)＝－，極小值f(1)＝－.8分

關于x的方程f(2|x|－1)＝m(x≠0)有六個不同的實數(shù)解，令2|x|－1＝t(t＞0)，

即關于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三個不同的實數(shù)解.9分

在t∈(0，＋∞)上函數(shù)f(t)的圖象與直線y＝m的圖象在t∈(0，＋∞)上有三個不同的交點，而f(t)的圖象與f(x)的圖象一致.11分

又f(0)＝－2，由數(shù)形結合可知，－＜m＜－.12分

20.解：(1)延長CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中點.1分

∵∠ACB＝90°，∴CN＝AB＝6，∴CG＝CN＝4.2分

作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是異面直線GC與BM所成的角或補角.3分

∵M是DG的中點，ME＝GC＝2，

BE＝＝＝2.4分

過M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，

∴MB2＝MH2＋HB2＝4＋4＋36－2?2?6?cos 60°＝32，

∴cos∠EMB＝＝－.5分

∴異面直線GC與BM所成的角為arccos.6分

(2)＋＋＝－(＋＋)，

∵G是△ABC的重心，

∴＋＋＝3.7分

∴(＋＋)?＝－3?.8分

△DGC是等腰直角三角形，DG＝CD＝4.9分

設MG＝x，則MD＝4－x，

∴－3?＝－3||||cos 180°＝3?x?(4－x)10分

≤3()2＝24.11分

∴(＋＋)?的最大值是24.

(當且僅當M為GD的中點時取得).12分

(備注：以上各小題都可以通過建立空間直角坐標系求解，建議參照給分)

21.解：(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，

點P的軌跡S是以F1、F2為焦點的雙曲線右支.1分

由c＝2,2a＝2，∴b2＝3.2分

故軌跡S的方程為x2－＝1(x≥1).4分

(2)當直線l的斜率存在時，設直線方程為y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.

∴解得k2＞3.5分

∵?＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2

＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)

＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2

＝＋m2.6分

∵MP⊥MQ，∴?＝0，

故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0對任意的k2＞3恒成立，

∴解得m＝－1.7分

當m＝－1時，MP⊥MQ，

當直線l的斜率不存在時，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知結論也成立.

綜上，當m＝－1時，MP⊥MQ.8分

(3)由(1)知，存在M(－1,0)使得MP⊥MQ，

∴∠AEP＝∠MEF＝∠BQF，∴△PAE～△FBE，

∴＝.9分

|AE|?|FB|＝|AP|?|BQ|＝?＝|PF2|?|OF2|，

|PF2|＝ex1－a＝2x1－1，|PF2|＝ex2－a＝2x2－1，

∴|AE||FB|＝(2x1－1)(2x2－1)10分

＝[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－＋

＝－＋＝＋＝＋＞.

當斜率不存在時|AE|?|AF|＝，∴λ的最小值為.11分

此時，|PQ|＝6，|MF|＝3，S△PMQ＝|MQ|?|PQ|＝9.12分

22.解：(1)由An＝(an－1)，An＋1＝(an＋1－1)，1分

∴an＋1＝(an＋1－an)，即＝3，2分

且a1＝A1＝(a1－1)，

得a1＝3.3分

∴數(shù)列{an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.4分

通項公式為an＝3n.5分

(2)∵2nln an＝2nln 3n＝(nln 3)?2n

＝2nln 3?2n－1＝2nln 3(1＋1)n－16分

＝2nln 3(C＋C＋…＋C)7分

＝2nln 3(nC＋nC＋nC＋…＋nC)8分

＝2nln 3(C＋2C＋…＋kC＋…nC)9分

＝(2ln 3)C＋(2ln 3)?2C＋…＋(2ln 3)?kC＋…＋(2ln 3)?nC.12分

故存在等差數(shù)列{cn}，cn＝(2ln 3)?n對一切正整數(shù)n∈N*，c1C＋c2C＋…＋cnC＝2nln an都成立.14分

 


同步練習冊答案