12.12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)為

（A）C³₈A⁶₆      （B）C²₃A²₃         （C）C²₈A²₆        （D）C²₈A²₅   

（在此卷上答題無(wú)效）

絕密★啟用前

2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷）

數(shù)　學(xué)（文科）

第Ⅱ卷（非選擇題　共90分）

考生注意事項(xiàng)：

請(qǐng)用0.5毫米黑色筆跡簽字在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.

（13）函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?u>　　　　　.

（14）已知雙曲線(xiàn)=1的離心率為，則n=     

（15）在數(shù)列{a_n}中，a_n=4n-,a₁+ a₂+…+ a_a=an­²+bn,n∈N^*,其中a，b為常數(shù)，則ab=                     .

 （16）已知點(diǎn)A，B，C，D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD.若AB=6,AC=2,AD=8,則B，C兩點(diǎn)間的球面距離是　　　　.

（17）（本小題滿(mǎn)分12分）

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x-).

(Ⅰ)求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-，]上的值域.

（18）（本小題滿(mǎn)分12分）

在某次普通話(huà)測(cè)試中，為測(cè)試字發(fā)音水平，設(shè)置了10張卡片，每張卡片上印有一個(gè)漢字的拼音，其中恰有3張卡片上的拼音帶有后鼻音“g”.

（Ⅰ）現(xiàn)對(duì)三位被測(cè)試者先后進(jìn)行測(cè)試，第一位被測(cè)試者從這10張卡片中隨機(jī)抽取1張，測(cè)試后放回，余下2位的測(cè)試，也按同樣的方法進(jìn)行，求這二位被測(cè)試者抽取的卡片上，拼音都帶有后鼻音“g”的概率；

（Ⅱ）若某位被測(cè)試者從這10張卡片中一次隨機(jī)抽取3張，求這3張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的卡片不少于2張的概率.

（19）（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC＝,OA⊥底面ABCD，OA=2,M為OA的中點(diǎn).

（Ⅰ）求異面直線(xiàn)AB與MD所成角的大小；

（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離.

（20）（本小題滿(mǎn)分12分）

已知函數(shù)f(x)= ，其中a為實(shí)數(shù).

（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求a的值；

（Ⅱ）已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

（21）（本小題滿(mǎn)分12分）

設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=a, a_n+1=ca_n+1-c, N*,其中a,c為實(shí)數(shù)，且c 0.

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)N*，求數(shù)列｛b_n｝的前n項(xiàng)和S_n;

（Ⅲ）若0＜a_n＜1對(duì)任意N*成立，證明0＜c1.

（22）（本小題滿(mǎn)分14分）

已知橢圓，其相應(yīng)于焦點(diǎn)F(2，0)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=4.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)F₁(-2,0)傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓C于A(yíng)，B兩點(diǎn).

　　　　求證：

（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)F₁(-2,0)作兩條互相垂直的直線(xiàn)分別交橢圓C于點(diǎn)A、B和D、E，求的最小值.

詳解如下：

（1）．若為位全體正實(shí)數(shù)的集合，則下列結(jié)論正確的是（   ）

A．                B．

C．                         D．

解：是全體非正數(shù)的集合即負(fù)數(shù)和0，所以

（2）．若，,  則（    ）

A．      （1，1）       B．（－1，－1）   C．（3，7）          D．（-3,-7）

解：向量基本運(yùn)算   

（3）．已知是兩條不同直線(xiàn)，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（    ）

A．             B．  

C．            D． 

解：定理：垂直于一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)互相平行，故選B。

（4）．是方程至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根的（    ）

A．必要不充分條件                B．充分不必要條件

C．充分必要條件                  D．既不充分也不必要條件

解：當(dāng)，得a<1時(shí)方程有根。a<0時(shí)，，方程有負(fù)根，又a=1時(shí)，方程根為，所以選B

（5）．在三角形中，,則的大小為（    ）

A．                   B．         C．         D．

解：由余弦定理，

（6）．函數(shù)的反函數(shù)為

A．              B．

C．               D．       

解：由原函數(shù)定義域是反函數(shù)的值域，，排除B,D兩個(gè)；又原函數(shù)不能取1，

 不能取1，故反函數(shù)定義域不包括1，選C  .(直接求解也容易)

（7）．設(shè)則中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（    ）

A．2                   B．3              C．4                     D．5

解：由題知，逐個(gè)驗(yàn)證知，其它為偶數(shù)，選A。

（8）．函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程可能是（       ）

A．               B．        C．            D．

解：的對(duì)稱(chēng)軸方程為，即，

（9）．設(shè)函數(shù) 則（    ）

A．有最大值                 B．有最小值        C．是增函數(shù)               D．是減函數(shù)

解：，，由基本不等式

有最大值，選A

（10）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍為（    ）A．    B．     C．          D．

解：解：設(shè)直線(xiàn)方程為，即，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，

圓心到直線(xiàn)的距離小于等于半徑 ，

得，選擇C

另外，數(shù)形結(jié)合畫(huà)出圖形也可以判斷C正確。

（11） 若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線(xiàn) 掃過(guò)中的那部分區(qū)域的面積為 (    )A．          B．1   C．    D．5

解：如圖知區(qū)域的面積是△OAB去掉一個(gè)小直角三角形。

（陰影部分面積比1大，比小,故選C,不需要算出來(lái)）

（12）12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是 (      )

A．                   B．                C．                    D． 

解：從后排8人中選2人共種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個(gè)空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，故為；綜上知選C。

（13）．函數(shù)的定義域?yàn)?u>          ．

解：由題知：；解得：x≥3.

（14）．已知雙曲線(xiàn)的離心率是。則＝         

解：，離心率，所以

（15） 在數(shù)列在中，，，,其中為常數(shù)，

則       

解：∵∴從而。

∴a=2，，則

（16）已知點(diǎn)在同一個(gè)球面上,若,則兩點(diǎn)間的球面距離是             

解：如圖，易得，，，則此球內(nèi)接長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)為AB、BC、CD（CD的對(duì)邊與CD等長(zhǎng)），從而球外接圓的直徑為，R=4則BC與球心構(gòu)成的大圓如圖，因?yàn)椤鱋BC為正三角形，則B，C兩點(diǎn)間的球面距離是。

（17）．（本小題滿(mǎn)分12分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的值域

解：（1）

（2）

因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以   當(dāng)時(shí)，取最大值 1

又  ，當(dāng)時(shí)，取最小值

所以 函數(shù) 在區(qū)間上的值域?yàn)?/p>

（18）．（本小題滿(mǎn)分12分）

     在某次普通話(huà)測(cè)試中，為測(cè)試漢字發(fā)音水平，設(shè)置了10張卡片，每張卡片印有一個(gè)漢字的拼音，其中恰有3張卡片上的拼音帶有后鼻音“g”.

（Ⅰ）現(xiàn)對(duì)三位被測(cè)試者先后進(jìn)行測(cè)試，第一位被測(cè)試者從這10張卡片總隨機(jī)抽取1張，測(cè)試后放回，余下2位的測(cè)試，也按同樣的方法進(jìn)行。求這三位被測(cè)試者抽取的卡片上，拼音都帶有后鼻音“g”的概率。

（Ⅱ）若某位被測(cè)試者從10張卡片中一次隨機(jī)抽取3張，求這三張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的卡片不少于2張的概率。

解：（1）每次測(cè)試中，被測(cè)試者從10張卡片中隨機(jī)抽取1張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的概率為，因?yàn)槿�位被測(cè)試者分別隨機(jī)抽取一張卡片的事件是相互獨(dú)立的，因而所求的概率為

（2）設(shè)表示所抽取的三張卡片中，恰有張卡片帶有后鼻音“g”的事件，且其相應(yīng)的概率為則

                  ,      

    因而所求概率為

（19）．（本小題滿(mǎn)分12分

如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的 菱形，, , ,為的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求異面直線(xiàn)AB與MD所成角的大小；

（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。

解：方法一（綜合法）

（1）

    為異面直線(xiàn)與所成的角（或其補(bǔ)角）

              作連接

           ，

                所以 與所成角的大小為

（２）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，

連接OP,過(guò)點(diǎn)A作 于點(diǎn)Q，

           又 ,線(xiàn)段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離

     ，

                ，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)

作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線(xiàn)為軸建立坐標(biāo)系

,

(1)設(shè)與所成的角為,

   ,

與所成角的大小為

(2)

設(shè)平面OCD的法向量為,則

即

取,解得

設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,

      , .

所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為

（20）．（本小題滿(mǎn)分12分）

設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù)。

（Ⅰ）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；

（Ⅱ）已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解:  (1)，由于函數(shù)在時(shí)取得極值，所以

    即

 (2) 方法一

    由題設(shè)知：對(duì)任意都成立

    即對(duì)任意都成立

   設(shè) , 則對(duì)任意，為單調(diào)遞增函數(shù)

   所以對(duì)任意，恒成立的充分必要條件是

   即 ，， 于是的取值范圍是

   方法二

   由題設(shè)知：對(duì)任意都成立

   即對(duì)任意都成立

   于是對(duì)任意都成立，即

， 于是的取值范圍是

（21）．（本小題滿(mǎn)分12分）

設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足其中為實(shí)數(shù)，且

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式

（Ⅱ）設(shè)，,求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）若對(duì)任意成立，證明

解 (1) 方法一：

       當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。

      ，即 。當(dāng)時(shí)，仍滿(mǎn)足上式。

      數(shù)列的通項(xiàng)公式為 。

方法二

由題設(shè)得：當(dāng)時(shí)，

時(shí)，也滿(mǎn)足上式。

數(shù)列的通項(xiàng)公式為 。

     (2)    由（1）得

(3)       由（1）知

若，則

由對(duì)任意成立，知。下面證，用反證法

方法一：假設(shè)，由函數(shù)的函數(shù)圖象知，當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，趨于無(wú)窮大

不能對(duì)恒成立，導(dǎo)致矛盾。。

方法二：假設(shè)，，

即  恒成立    （＊）

為常數(shù)， （＊）式對(duì)不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，

（22）．（本小題滿(mǎn)分14分）

設(shè)橢圓其相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，求證：

        ;

 （Ⅲ）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)分別交橢圓于和,求 

的最小值

解 ：（1）由題意得：

           橢圓的方程為

       (2)方法一：

         由（1）知是橢圓的左焦點(diǎn)，離心率

         設(shè)為橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)。則

         作，與軸交于點(diǎn)H(如圖)

         點(diǎn)A在橢圓上

       同理

       。

方法二：

      當(dāng)時(shí)，記，則

      將其代入方程   得

      設(shè)  ，則是此二次方程的兩個(gè)根.

             ................(1)

      代入（1）式得       ........................(2)

      當(dāng)時(shí)，  仍滿(mǎn)足（2）式。

（3）設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，由于由（2）可得

                ，

    當(dāng)時(shí)，取得最小值