數學（理科）試卷
注意事項：
本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分為150分，考試時間為120分鐘。
參考公式：如果事件A、B互斥，那么
球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
S=4
R2
如果事件A、B相互獨立，那么
其中R表示球的半徑
P(A•B)=P(A)•P(B)
球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，
那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率
其中R表示球的半徑
第I卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中有且只有一項是符合題目要求的.
1、若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 則
（ ）
A．{1,2,3} B. {2} C.{1,3,4} D. {4}
2、已知1是
與
的等比中項,又是
與
的等差中項,則
的值為
A．1 B．2 C．3 D．4
3、將直線
繞著點(-1,1)沿逆時針方向旋轉
所得的直線方程
A. 
B. 
C. 
D. 
4、
，且
，則向量
與
的夾角為
A．
B. 
C. 
D. 
5、函數y＝1－|x－x2|的圖象大致是
A． B． C． D．
6、隨機變量
，記
，則下列式子中錯誤的是
A.
B. 
C. 
D. 
7、設
為直線,
為平面,則
的一個充分不必要條件是
A.
B.
C.
D.
.
8、過函數f (x)= x+cosx－
sin x圖象上一點的切線的傾斜角是θ，則θ的取值范圍是
A． 
B． 
C． 
D． 
９、在平面直角坐標系中，點
滿足
，點所在區(qū)域的面積為
，
則集合
的交集
所表示的圖形面積為
A．
B．
C．1
D．
10、一條走廊寬長
，
, 用 6 種顏色的
的整塊地磚來鋪設(每塊地磚都是單色的, 每種顏色的地磚都足夠多), 要求相鄰的兩塊地磚顏色不同, 那么所有的不同拼色方法有
A. 
個 B. 
個 C. 
個 D. 
個
數學（理科）答卷紙
題號
一
二
三
總分
18
19
20
21
22
得分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總分
答案
第Ⅱ卷（非選擇題共100分）
二、填空題:本大題共7個小題，每小題4分，共28分，將答案填寫在題中的橫線上.
11、已知復數
，且
滿足
，則實數
的值為
12、橢圓的焦距是它的兩條準線間距離的
，則它的離心率為
13、函數
的最小正周期為
14、若二項式
展開式中的第5項是5，則
等于
15、棱長為2的正四面體ABCD的外接球的球心O到平面BCD的距離等于
16、已知拋物線
的對稱軸在y軸的左側，其中
，在這些拋物線中，記隨機變量
的取值
則
的數學期望
17、定義點
到直線
的有向距離為：
.已知點
、
到直線
的有向距離分別是
、
，有以下命題：
①若
=0，則直線與直線平行；②若+=0，則直線與直線平行；
③若+=0，則直線與直線垂直；④若<0，則直線與直線相交。
以上結論正確的是 .（要求填上正確結論的序號）
三、解答題:本大題共5個小題，前面4題每小題14分，最后一題16分，共72分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
18、數列
滿足:
(Ⅰ)記
,求證:
是等比數列;
(Ⅱ)求數列
的通項公式;
19、如圖,平面四邊形ABCD中, AB=13, AC=10,
AD=5,
,
=120,
(Ⅰ)
求
; (Ⅱ) 設
求實數x、y的值.
20、如圖，正三棱柱ABC―A1B
(Ⅰ)若M為AB中點，求證
BB1∥平面EFM；
(Ⅱ)求證 EF⊥BC；
(Ⅲ)求二面角A1―B1D―C1的大小
21、已知點D在定線段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一個動圓C過點D且與MN相切，分別過M、N作圓C的另兩條切線交于點P．
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B，
若
=λ
，且λ∈[2－，2＋]，記直線l
與直線MN夾角為θ，求
的取值范圍．
22、已知函數
是定義在
上的奇函數，當
時，有
（其中
為自然對數的底，
）．
（Ⅰ）若
,求函數的解析式；
（Ⅱ）試問：是否存在實數
，使得當
，的最小值是
？如果存在，求出實數的值；如果不存在，請說明理由．
（Ⅲ）設
（
），求證：當
時，
；
第I卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中有且只有一項是符合題目要求的.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總分
答案
D
B
C
C
C
D
B
D
B
D
第Ⅱ卷（非選擇題共100分）
二、填空題:本大題共7個小題，每小題4分，共28分，將答案填寫在題中的橫線上.
11．
0 12． 
13． -1 14． 
15. 
16.
17.___ ④____
三、解答題:本大題共5個小題，第18-21題每小題14分，第22題16分,共72分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
18、數列
滿足:
(Ⅰ)記
,求證:
是等比數列;(Ⅱ)求數列
的通項公式;
解：(Ⅰ)
，
是等比數列;
(Ⅱ) 
19、如圖,平面四邊形ABCD中, AB=13, AC=10,
AD=5,
,
=120,
(Ⅰ)
求
; (Ⅱ) 設
求實數x、y的值.
解：(Ⅰ)設
(Ⅱ) 
（其他方法解對同樣給分）
20、如圖，正三棱柱ABC―A1B
(Ⅰ)若M為AB中點，求證
BB1∥平面EFM；
(Ⅱ)求證 EF⊥BC；
(Ⅲ)求二面角A1―B1D―C1的大小
(1) 證明 連結EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB
（和AB1的中點，
∴BB1∥ME，又BB1
平面EFM，∴BB1∥平面EFM
(2)證明 取BC的中點N，連結AN由正三棱柱得 AN⊥BC，
又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點，故MF∥AN，
∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME
∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，
又EF
平面EFM，∴BC⊥EF
(3)解 取B
（建立坐標系解對同樣給分）
21、已知點D在定線段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一個動圓C過點D且與MN相切，分別過M、N作圓C的另兩條切線交于點P．
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B，
若
=λ
，且λ∈[2－，2＋]，記直線l
與直線MN夾角為θ，求
的取值范圍．
解：（Ⅰ）以直線MN為x軸，MN的中點為坐標原點O，
建立直角坐標系xOy．
∵PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝1
或PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝－1
∴點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為1的雙曲線（不包含頂點），
其軌跡方程為
（y≠0）
（Ⅱ）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)
設AB：my＝x＋
，代入得，3(my－)2－y2－2＝0，
即(
∴
＝λ，y1＝-λy2，∴
得，
，
∴
∈[-2，0]，即
∴
，故
22、已知函數
是定義在
上的奇函數，當
時，有
（其中
為自然對數的底，
）．
（Ⅰ）若
,求函數的解析式；
（Ⅱ）試問：是否存在實數
，使得當
，的最小值是
？如果存在，求出實數的值；如果不存在，請說明理由．
（Ⅲ）設
（
），求證：當
時，
；
解：（Ⅰ）
當時，
，故有
，由此及是奇函數得
，因此，函數的解析式為
；
（Ⅱ）當時，
：
①若
，則
在區(qū)間
上是減函數，故此時函數在區(qū)間上沒有最小值；
②若
，則令
，且在區(qū)間
上是減函數，而在區(qū)間
上是增函數，故當
時，
．
令
．
綜上所述，當
時，函數在區(qū)間上的最小值是3．
（Ⅲ）證明：令
。當
時，注意到
，故有
．
①當
時，注意到
，故
；
②當
時，有
，故函數
在區(qū)間
上是增函數，從而有
。
因此，當時，有。
又因為是偶函數，故當
時，同樣有
，即．
綜上所述，當時，有；
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