吉林省吉林一中2009年高三階段驗(yàn)收

數(shù)學(xué)試題

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．

 

第Ⅰ卷（選擇題，共60分）

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇出符合題目要求的一項(xiàng)．

１．已知M={|=(1,2)+(3,4)，∈R}，N={|=(-2,-2)+μ(4,5)，μ∈R}，則

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MN=                                                             （    ）

A．{(1,1)}               B．{(1,1),(-2,-2)}     C．{(-2,-2)}             D．φ

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2．(理)等于                                                      （    ）

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A．         B．          C．           D．

   (文)函數(shù)y=(x+1)2(x-1)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于                                 （    ）

       A．1              B．2                C．3                  D．4

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3．已知f(x)=sin(x+)，g(x)=cos(x-)，則下列結(jié)論中正確的是                 （    ）

      A．函數(shù)y=f(x)?g(x)的最大值為1

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       B．函數(shù)y=f(x)?g(x)的對(duì)稱(chēng)中心是(,0)，∈Z

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       C．當(dāng)x∈[-,]時(shí)，函數(shù)y=f(x)?g(x)單調(diào)遞增

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       D．將f(x)的圖象向右平移單位后得g(x)的圖象

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4．已知當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)y=f(x)滿足f(2.1+x)=f(1.1+x) + ，且f(1)=1，則f(100)

    的值為                                                            （    ）

       A．                   B．                     C．34                    D．

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5．設(shè)四面體的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4，它們的最大值為S，記，

   則有                                                                          （    ）

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       A．2<≤4           B．3<≤4             C．2.5<≤4.5      D．3.5<≤5.5

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6．已知球的表面積為20，球面上有A、B、C三點(diǎn)，如果AB=AC=2，BC=2，則球心

   到平面ABC的距離為                                                                                 （    ）

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       A．1                    B．               C．                D．2

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7．在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)長(zhǎng)方形的面積等于其它10個(gè)小長(zhǎng)方形面積和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為              （    ）

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       A．32             B．0.2                 C．40                D．0.25

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8．函數(shù)y=x3-2ax+a在(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是               （    ）

      A．(0,3)            B．(-∞,3)           C．(0,+∞)         D．(0,)

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9．(理)已知有相同兩焦點(diǎn)F1、F2的橢圓 + y2=1(m>1)和雙曲線 - y2=1（n>0），P是它們

   的一個(gè)交點(diǎn)，則ΔF1PF2的形狀是                                                                    （    ）

A．銳角三角形     B．直角三角形     C．鈍有三角形    D．隨m、n變化而變化

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  (文)已知有相同兩焦點(diǎn)F1、F2的橢圓+ y2=1和雙曲線- y2=1，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，

   則ΔF1PF2的形狀是                                                               （    ）

       A．銳角三角形      B．直角三角形       C．鈍有三角形      D．等腰三角形

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10．在股票買(mǎi)賣(mài)過(guò)程中，經(jīng)常用到兩種曲線，一種是即時(shí)價(jià)格曲線y=f(x)，另一種是平

均價(jià)格曲線y=g(x)(如f(2)=3是指開(kāi)始買(mǎi)賣(mài)后二個(gè)小時(shí)的即時(shí)價(jià)格為3元；g(2)=3

表示二個(gè)小時(shí)內(nèi)的平均價(jià)格為3元)，下圖給出的四個(gè)圖像，其中實(shí)線表示y=f(x)，

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虛線表示y=g(x)，其中可能正確的是                                             （    ）

 

 

 

 

A                   B                C                D

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11．有20張卡片分別寫(xiě)著數(shù)字1,2,…,19,20，將它們放入一個(gè)盒中，有4個(gè)人從中各抽

取一張卡片，取到兩個(gè)較小數(shù)字的二人在同一組，取得兩個(gè)較大數(shù)字的二人在同一

組，若其中二人分別抽到5和14，則此二人在同一組的概率等于           （    ）

A．              B．                  C．                     D．

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12．如圖，在楊輝三角形中，斜線的上方，

從1開(kāi)始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形

數(shù)列：1,3,3,4,6,5,10,…，記其前n項(xiàng)和

為Sn，則S19等于 （    ）

A．129            B．172

C．228            D．283

 

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

 

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二、填空題: 本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上．

13．拋物線y=ax2(a≠0)的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_________________．

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14．對(duì)于任意一個(gè)非零實(shí)數(shù)，它的倒數(shù)的倒數(shù)是它的本身．也就是說(shuō)，連續(xù)施行兩次倒數(shù)

變換后又回到施行變換前的對(duì)象，我們把這樣的變換稱(chēng)為回歸變換．在中學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)寫(xiě)出這樣的變換（寫(xiě)對(duì)一個(gè)變換給2分，最多得4分）                            ．

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15．已知x>0，由不等式≥2?=2，=≥=3,

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…，啟發(fā)我們可以得出推廣結(jié)論：≥n+1 (n∈N*)，則a=_______________．

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16．在平行六面體的一個(gè)面所在的平面內(nèi)，任意畫(huà)一條直線，則與它異面的平行六

面體的棱的條數(shù)可能是_________________(填上所有可能結(jié)果)．

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三、解答題: 本大題共6小題，共74分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字的說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

17．（本題滿分12分）

已知函數(shù)y=sinωx•cosωx(ω>0) (ω>0)的周期為 ,　

（I） 求ω 的值；

（II） 當(dāng)0≤x≤ 時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．

 

 

 

 

 

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18．（本題滿分12分）

質(zhì)點(diǎn)A位于數(shù)軸x=0處，質(zhì)點(diǎn)B位于x=2處．這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每隔1秒鐘都向左或

向右平移一個(gè)單位，設(shè)向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為.

（I）求3秒后，質(zhì)點(diǎn)A在點(diǎn)x=1處的概率；

（II）求2秒后，質(zhì)點(diǎn)A、B同時(shí)在x=2處的概率．

 

 

 

 

 

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19．（本題滿分12分）

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如圖，已知直平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC1的中點(diǎn)，A1D⊥BE．

（I）求證：A1D⊥平面BDE；

（II）求二面角B?DE?C的大小；

（III）求點(diǎn)B到平面A1DE的距離    

 

 

 

 

 

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20．某汽車(chē)銷(xiāo)售公司為促銷(xiāo)采取了較靈活的付款方式，對(duì)購(gòu)買(mǎi)10萬(wàn)元一輛的轎車(chē)在一年

內(nèi)將款全部付清的前提下，可以選擇以下兩種分期付款方案購(gòu)車(chē)：

方案1：分3次付清，購(gòu)買(mǎi)后4個(gè)月第一次付款，再過(guò)4個(gè)月第二次付款，再過(guò)4個(gè)月第三次付款．方案2：分12次付清，購(gòu)買(mǎi)后1個(gè)月第一次付款，再過(guò)1個(gè)月第二次付款，……購(gòu)買(mǎi)后12個(gè)月第十二次付款．

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現(xiàn)規(guī)定分期付款中，每期付款額相同，月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計(jì)息，試比較以上兩種方案的哪一種方案付款總數(shù)較少？(參考數(shù)據(jù)：1.0083=1.024，1.0084=1.033，1.00811=1.092，1.00812=1.1)

 

 

 

 

 

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21．（理）如圖，|AB|=2，O為AB中點(diǎn)，直線過(guò)B且垂直于AB，過(guò)A的動(dòng)直線與交于點(diǎn)C，點(diǎn)M在線段AC上，滿足=.

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   （1）求點(diǎn)M的軌跡方程；

   （2）若過(guò)B點(diǎn)且斜率為- 的直線與軌跡M交于

點(diǎn)P，點(diǎn)Q(t,0)是x軸上任意一點(diǎn)，求當(dāng)

ΔBPQ為銳角三角形時(shí)t的取值范圍．

 

 

 

 

 

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21．（文）已知:函數(shù)f(x)=a+ (a>1) 

   （1） 證明：函數(shù)f(x)在(-1,+∞ )上為增函數(shù)；

   （2）證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)根．

 

 

 

 

 

 

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22．（本題滿分14分）

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（理）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且=1，

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.

（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（II）已知定理：“若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，則有

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< f’(x)”．若且函數(shù)y=xn+1在(0,+∞)上是凹函數(shù)，試判斷bn與bn+1的大�。�

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（III）求證：≤bn<2.

 

 

 

 

 

 

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22．（本題滿分14分）

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(文)如圖，|AB|=2，O為AB中點(diǎn)，直線過(guò)B且垂直于AB，過(guò)A的動(dòng)直線與交于點(diǎn)C，點(diǎn)M在線段AC上，滿足=.

（I）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（II）若過(guò)B點(diǎn)且斜率為- 的直線與軌跡M交于

         點(diǎn)P，點(diǎn)Q(t,0)是x軸上任意一點(diǎn)，求當(dāng)ΔBPQ為

         銳角三角形時(shí)t的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

一、選擇題（12’×5=60’）

1．C

2．理D  文D

3．D

4．C. 提示：{f(n)}是等差數(shù)列(n∈N*)

5．A. 提示：當(dāng)S1=S2=S3=S4=S時(shí)，λ=4；當(dāng)高趨向于零時(shí)，λ無(wú)限接近2

6．A

7．A

8．D

9．B. 提示：∵|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=±2，又m-1=n+1，

∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4(m-1)=|F1F2|2

10．C

11．D

12．D. 提示：第一行C22，第二行C31+C32=C42，第三行C41+C42=C52，…，故S19=C22+C42+C52+…+C122=C133-C32=283.

 

二、填空題(4’×4=16’)

13．y=-

14．答案：相反數(shù)的相反數(shù)是它本身，集合A的補(bǔ)集的補(bǔ)集是它本身，一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛的共軛是它本身，等等.

15．nn

16．4或6或7或8

 

三、解答題

17．解：(1) y=sin2ωx+ cos2ωx+ = sin(2ωx+ )+                   （4）

∵ T=             ∴ ω =2                                 （6）      

 (2) y=sin(4x+ )+  

∵  0≤x≤    ∴ ≤4x+ ≤π +                          （8）

∴  當(dāng)x= 時(shí)，y=0  當(dāng)x=時(shí)，y=                              （12）

 

18．(1)質(zhì)點(diǎn)n次移動(dòng)看作n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，記向左移動(dòng)一次為事件A，

則P(A)=，P()=3秒后，質(zhì)點(diǎn)A在點(diǎn)x=1處的概率P1=P3(1)=C31?p(1-p)2=3××()2=              (6’)

    (2)2秒后，質(zhì)點(diǎn)A、B同在x=2處，即A、B兩質(zhì)點(diǎn)各做二次移動(dòng)，其中質(zhì)點(diǎn)A向右移動(dòng)2次，質(zhì)點(diǎn)B向左、向右各移動(dòng)一次，故P2=P2(0)?P2(1)=C20?()2?C21??=          (12’)

考點(diǎn)解析：本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，但需要一定的分析、轉(zhuǎn)化能力．

 

19．(1)∵AA1⊥面ABCD，∴AA1⊥BD，

又BD⊥AD，∴BD⊥A1D        (2’)

又A1D⊥BE，

∴A1D⊥平面BDE                (3’)

(2)連B1C，則B1C⊥BE，易證RtΔCBE∽R(shí)tΔCBB1，

∴=，又E為CC1中點(diǎn)，∴BB12=BC2=a2，

∴BB1=a          (5’)

取CD中點(diǎn)M，連BM，則BM⊥平面CD1，作MN⊥DE于N，連NB，則∠BNM是二面角B?DE?C的平面角                (7’)

RtΔCED中，易求得MN=，RtΔBMN中，tan∠BNM==，∴∠BNM=arctan (10’)

(3)易證BN長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面A1DE的距離    (11’)

BN==a        (12’)

    (2)另解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸、DB為y軸、DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則B(0,a,0)，設(shè)A1(a,0,x)，E(-a,a,)，=(-a,0,-x)，=(-a,0,)，∵A1D⊥BE

∴a2-x2=0，x2=2a2，x=a，即BB1=a.

考點(diǎn)解析：九(A)、九(B)合用一道立體幾何題是近年立幾出題的趨勢(shì)，相比較而言，選用九(B)體系可以避開(kāi)一些邏輯論證，取之以代數(shù)運(yùn)算，可以減輕多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的學(xué)習(xí)壓力．

 

20．若按方案1付款，設(shè)每次付款為a(萬(wàn)元)

則有a+a(1+0.8%)4+a(1+-0.8%)8=10×(1+0.8%)12        (4’)

即a×=10×1.00812，a=

付款總數(shù)S1=3a=9.9×1.00812                       (6’)

若按方案2付款，設(shè)每次付款額為b(萬(wàn)元)，同理可得：b=    (8’)

付款總額為S2=12b=9.6×1.00812，故按有二種方案付款總額較少.   (12’)

考點(diǎn)解析：復(fù)習(xí)中要注意以教材中研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容為背景的應(yīng)用問(wèn)題．

 

21．（理）(1)設(shè)M(x,y)，C(1,y0)，∵=，∴=           (2’)

又A、M、C三點(diǎn)一線，∴=       ②                    (4’)

由(1)、(2)消去y0，得x2+4y2=1(y≠0)                          (6’)

   

      

 

(2)P(0,)是軌跡M短軸端點(diǎn)，∴t≥0時(shí)∠PQB或∠PBQ不為銳角，∴t<0

又∠QPB為銳角，∴?>0，∴(t,- )(1,- )=t+ >0，∴- <t<0         (12’)

考點(diǎn)解析：解析幾何題注意隱藏的三點(diǎn)共線關(guān)系；平面向量運(yùn)算也常常設(shè)置在解析幾何考題當(dāng)中．

 

21．(文)證明：(1) 設(shè)-1<x­1<x2<+∞

f(x1)-f(x2) =a-a + -

=a-a +          （4）

 ∵  -1<x1<x2 ,a>0

 ∴  a-a<0     <0

 ∴  f(x1)-f(x2)<0  即  f(x1)<f(x2) ,函數(shù)f(x)在(-1,+∞ )上為增函數(shù)．       （6）

 (2)  若方程有負(fù)根x0 (x0≠-1)，則有a= -1

   若  x0<-1 , -1<-1   而 a>0    故  a ≠ -1           （10）

   若 -1<x0<0 ,   -1>2    而 a<a0=1  a ≠ -1

綜上所述，方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)根．  

                                                                          （12）

 

22．（理）(1)Sn=an，∴Sn+1=an+1，an+1=Sn+1-Sn=an+1-an，∴= (n≥2)         (2’)

∴==…==1，∴an+1=n，an=n-1 (n≥2)，又a1=0，∴an=n-1                  (4’)

   （2）bn+1=(1+ )n+1，bn=(1+ )n，

∵<(n+1)?(1+ )n                                   (7’)

整理即得：(1+ )n<(1+ )n+1，即bn<bn+1                              (8’)

(3)由(2)知bn>bn-1­>…>b­1=                                               (10’)

又Cnr?()r=(??…)?()r≤()r，(0≤r≤n)，

∴bn≤1+ +()2+…+()n=2-()n<2，∴≤bn<2                          (14’)

考點(diǎn)解析：這種“新概念”題需要較好的理解、分析能力，放縮法證明不等式是不等式證明的常用方法，也具有一定的靈活性，平時(shí)要注重概念的學(xué)習(xí)，常見(jiàn)題型的積累，提高思維能力和聯(lián)想變通能力．

22．（文）見(jiàn)21（理）．


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