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練習(xí)冊

練習(xí)冊
試題

北京市西城區(qū) 2009年4月抽樣測試

高三數(shù)學(xué)試卷（文科） 2009.4

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.

題號

分數(shù)

一

二

三

總分

15

16

17

18

19

20

第Ⅰ卷(選擇題共40分)

一、本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1. 已知集合，那么集合等于（）

A. B.

C. D.

2. 函數(shù)的最小正周期為（）

A. B.

C. D.

3. 若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列是（）

A. 公比為4的等比數(shù)列 B. 公比為的等比數(shù)列

C. 公比為的等比數(shù)列 D. 公比為的等比數(shù)列

4. 由1、2、3、4、5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有（）

A. 48 個 B. 72 個

C. 96 個 D. 120 個

5.設(shè)實數(shù)x, y滿足，則的最小值為（）

A. B.

C. 5 D. 27

6. 在平面直角坐標(biāo)系中， A為平面內(nèi)一個動點，. 若（O為坐標(biāo)原點），則動點A的軌跡是（）

A. 橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D. 圓

7．已知直線a 和平面，那么的一個充分條件是（）

A. 存在一條直線b， B. 存在一條直線b，

C. 存在一個平面 D. 存在一個平面

8. 函數(shù)f (x)的定義域為D，若對于任意，當(dāng)時，都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù) .

設(shè)函數(shù)f (x)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：

1； 2； 3.

則等于（）

A. B.

C. 1 D.

北京市西城區(qū) 2009年抽樣測試

高三數(shù)學(xué)試卷（文科） 2009.4

第Ⅱ卷( 共110分)

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .

9. 某單位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 為了調(diào)查他們的身體情況，用分層抽樣的方法從他們中抽取了n個人進行體檢，其中有6名老年人，那么n=_________.

10. 的展開式中的系數(shù)是___________.(用數(shù)字作答)

11. 設(shè)a為常數(shù)，.若函數(shù)為偶函數(shù)，則=__________；=_______.

12. 設(shè)O為坐標(biāo)原點，向量 .將繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 得到向量 , 則的坐標(biāo)為____________.

13. 已知一個正方體的八個頂點都在同一個球面上. 設(shè)此正方體的表面積為，球的表面積，則=_____________.

14．如圖，從雙曲線的左焦點F₁引圓的切線，切點為T，延長F₁T交雙曲線右支于P點. 設(shè)M為線段F₁P的中點，O為坐標(biāo)原點，則=_____________；=__________.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分12分）

設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

16.（本小題滿分12分）

某個高中研究性學(xué)習(xí)小組共有9名學(xué)生，其中有3名男生和6名女生. 在研究學(xué)習(xí)過程中，要進行兩次匯報活動（即開題匯報和結(jié)題匯報），每次匯報都從這9名學(xué)生中隨機選1人作為代表發(fā)言. 設(shè)每人每次被選中與否均互不影響.

（Ⅰ）求兩次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率；

（Ⅱ）求男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率.

17.（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，又

.

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求PA與平面ABCD所成角的大�。�

(Ⅲ) 求二面角B-PD-C的大小.

18.（本小題滿分14分）

設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且（c是常數(shù)，N^*），.

（Ⅰ）求c的值及的通項公式；

（Ⅱ）證明：.

19.（本小題滿分14分）

已知橢圓C，過點M(0, 1)的直線l與橢圓C相交于兩點A、B.

（Ⅰ）若l與x軸相交于點P，且P為AM的中點，求直線l的方程；

（Ⅱ）設(shè)點，求的最大值.

20.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)R).

（Ⅰ）若a=1，函數(shù)的圖象能否總在直線的下方？說明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)為方程的三個根，且，，,求證：.

高三數(shù)學(xué)試卷（文科） 2009.4

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

A

D

C

A

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.

9. 36 10. 10 11. 2, 8 12. 13. 14. 5, 2

注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.

15.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由余弦定理， ----------------------------3分

得. ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ,

所以角為銳角，所以， ----------------------------7分

則 --------------------------10分

.

所以. ---------------------------12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A. -----------------------------1分

由題意，得事件A的概率，

即2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率為. ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由題意，每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.

----------------------------6分

記“男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)”為事件B，

由題意，事件B包括以下兩個互斥事件：

1事件B₁：男生發(fā)言2次女生發(fā)言0次，其概率為

， ----------------------------8分

2事件B₂：男生發(fā)言1次女生發(fā)言1次，其概率為

， ----------------------------10分

所以，男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率為.

---------------------------12分

17.（本小題滿分14分）

方法一：（Ⅰ）證明：在中，，

，

，即， ---------------------------1分

，

平面. ---------------------------4分

（Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知平面，

AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，

為PA與平面ABCD所成的角. --------------6分

在中，，，

，

在中，，，

，

PA與平面ABCD所成角的大小為. ---------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

平面. ---------------------------9分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內(nèi)的射影，

，

為二面角B-PD-C的平面角. ---------------------------11分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

，

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為. --------------------------14分

方法二：（Ⅰ）同方法一. ---------------------------4分

（Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，

AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，

為PA與平面ABCD所成的角. ---------------------------6分

如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

則, ，

---------------------------7分

，

PA與平面ABCD所成角的大小為. ---------------------------9分

（Ⅲ）過C作于M，連接BM，設(shè)，

則，

，

； 1

共線，

， 2

由12，解得，

點的坐標(biāo)為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角. ---------------------------12分

，，

，

二面角B-PD-C的大小為. --------------------------14分

18.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：因為，

所以當(dāng)時，，解得， ---------------------------2分

當(dāng)時，，即，解得，

所以，解得； ---------------------------5分

則，數(shù)列的公差，

所以. ---------------------------8分

（Ⅱ）因為

---------------------------9分

---------------------------12分

.

因為，

所以 . -------------------------14分

注：為降低難度，此題故意給出多余條件，有多種解法，請相應(yīng)評分.

19.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：設(shè)A(x₁, y₁)，

因為P為AM的中點，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，

所以，解得， -------------------------1分

又因為點A(x₁, y₁)在橢圓C上，

所以，即，解得，

則點A的坐標(biāo)為或， -------------------------3分

所以直線l的方程為，或. -------------------------5分

（Ⅱ）設(shè)A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，則

所以，

則， -------------------------7分

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，其方程為，，此時；

-------------------------8分

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為，

由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，

消去y得，

所以， -------------------------10分

則，

所以，

當(dāng)時，等號成立, 即此時取得最大值1. -------------------------13分

綜上，當(dāng)直線AB的方程為或時，有最大值1. -------------------14分

20.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：當(dāng)時，，

因為，

所以，函數(shù)的圖象不能總在直線的下方. ---------------------------3分

（Ⅱ）解：由題意，得，

令，解得或， --------------------------4分

當(dāng)時，由，解得，

所以在上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；

當(dāng)時，由，與題意不符，舍去； --------------------------6分

當(dāng)時，由，解得，

所以在上是增函數(shù)，

又在(0，2)上是增函數(shù)，

所以，解得，

綜上，a的取值范圍為. ---------------------------9分

（Ⅲ）解：因為方程最多只有3個根，

由題意，得在區(qū)間內(nèi)僅有一根，

所以， 1

同理， 2 --------------------------11分

當(dāng)時，由1得，即，

由2得，即，

因為，所以，即；

當(dāng)時，由1得，即，

由2得，即，

因為，所以，即；

當(dāng)時，因為，所以有一根0，這與題意不符.

綜上，. ---------------------------14分

注：在第（Ⅲ）問中，得到12后，可以在坐標(biāo)平面aOb內(nèi)，用線性規(guī)劃方法解. 請相應(yīng)評分.

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