(Ⅰ)若a=1.函數(shù)的圖象能否總在直線的下方?說明理由, 【查看更多】

(本小題滿分12分)

已知函數(shù)R).

（Ⅰ）若a=1，函數(shù)的圖象能否總在直線的下方？說明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)為方程的三個根，且，，, 求證：或

已知函數(shù) $數(shù)學公式$ 的圖象在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）設(shè) $數(shù)學公式$ 是[2，+∞）上的增函數(shù)．
①求實數(shù)m的最大值；
②當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x。
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間[1，e]上都存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由。
（3）給出如下定義：對于函數(shù)y=F（x）圖象上任意不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果對于函數(shù)y=F（x）圖象上的點M（x₀，y₀）（其中

總能使得F（x₁）﹣F（x₂）=F'（x₀）（x₁-x₂）成立，則稱函數(shù)具備性質(zhì)“L”，試判斷函數(shù)f（x）是不是具備性質(zhì)“L”，并說明理由。

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已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間[1，e]上都存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）給出如下定義：對于函數(shù)y=F（x）圖象上任意不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果對于函數(shù)y=F（x）圖象上的點M（x₀，y₀）（其中x0=

x1+x2

2

)總能使得F（x₁）-F（x₂）=F'（x₀）（x₁-x₂）成立，則稱函數(shù)具備性質(zhì)“L”，試判斷函數(shù)f（x）是不是具備性質(zhì)“L”，并說明理由．

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已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意給定的x∈（0，e]，在區(qū)間[1，e]上都存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x）成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）給出如下定義：對于函數(shù)y=F（x）圖象上任意不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果對于函數(shù)y=F（x）圖象上的點M（x，y）（其中

總能使得F（x₁）-F（x₂）=F'（x）（x₁-x₂）成立，則稱函數(shù)具備性質(zhì)“L”，試判斷函數(shù)f（x）是不是具備性質(zhì)“L”，并說明理由．

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高三數(shù)學試卷（文科） 2009.4

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

A

D

C

A

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.

9. 36 10. 10 11. 2, 8 12. 13. 14. 5, 2

注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.

15.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由余弦定理， ----------------------------3分

得. ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ,

所以角為銳角，所以， ----------------------------7分

則 --------------------------10分

.

所以. ---------------------------12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A. -----------------------------1分

由題意，得事件A的概率，

即2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率為. ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由題意，每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.

----------------------------6分

記“男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)”為事件B，

由題意，事件B包括以下兩個互斥事件：

1事件B₁：男生發(fā)言2次女生發(fā)言0次，其概率為

， ----------------------------8分

2事件B₂：男生發(fā)言1次女生發(fā)言1次，其概率為

， ----------------------------10分

所以，男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率為.

---------------------------12分

17.（本小題滿分14分）

方法一：（Ⅰ）證明：在中，，

，

，即， ---------------------------1分

，

平面. ---------------------------4分

（Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知平面，

AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，

為PA與平面ABCD所成的角. --------------6分

在中，，，

，

在中，，，

，

PA與平面ABCD所成角的大小為. ---------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

平面. ---------------------------9分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內(nèi)的射影，

，

為二面角B-PD-C的平面角. ---------------------------11分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

，

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為. --------------------------14分

方法二：（Ⅰ）同方法一. ---------------------------4分

（Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，

AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，

為PA與平面ABCD所成的角. ---------------------------6分

如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，

則, ，

---------------------------7分

，

PA與平面ABCD所成角的大小為. ---------------------------9分

（Ⅲ）過C作于M，連接BM，設(shè)，

則，

，

； 1

共線，

， 2

由12，解得，

點的坐標為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角. ---------------------------12分

，，

，

二面角B-PD-C的大小為. --------------------------14分

18.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：因為，

所以當時，，解得， ---------------------------2分

當時，，即，解得，

所以，解得； ---------------------------5分

則，數(shù)列的公差，

所以. ---------------------------8分

（Ⅱ）因為

---------------------------9分

---------------------------12分

.

因為，

所以 . -------------------------14分

注：為降低難度，此題故意給出多余條件，有多種解法，請相應(yīng)評分.

19.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：設(shè)A(x₁, y₁)，

因為P為AM的中點，且P的縱坐標為0，M的縱坐標為1，

所以，解得， -------------------------1分

又因為點A(x₁, y₁)在橢圓C上，

所以，即，解得，

則點A的坐標為或， -------------------------3分

所以直線l的方程為，或. -------------------------5分

（Ⅱ）設(shè)A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，則

所以，

則， -------------------------7分

當直線AB的斜率不存在時，其方程為，，此時；

-------------------------8分

當直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為，

由題設(shè)可得A、B的坐標是方程組的解，

消去y得，

所以， -------------------------10分

則，

所以，

當時，等號成立, 即此時取得最大值1. -------------------------13分

綜上，當直線AB的方程為或時，有最大值1. -------------------14分

20.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：當時，，

因為，

所以，函數(shù)的圖象不能總在直線的下方. ---------------------------3分

（Ⅱ）解：由題意，得，

令，解得或， --------------------------4分

當時，由，解得，

所以在上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；

當時，由，與題意不符，舍去； --------------------------6分

當時，由，解得，

所以在上是增函數(shù)，

又在(0，2)上是增函數(shù)，

所以，解得，

綜上，a的取值范圍為. ---------------------------9分

（Ⅲ）解：因為方程最多只有3個根，

由題意，得在區(qū)間內(nèi)僅有一根，

所以， 1

同理， 2 --------------------------11分

當時，由1得，即，

由2得，即，

因為，所以，即；

當時，由1得，即，

由2得，即，

因為，所以，即；

當時，因為，所以有一根0，這與題意不符.

綜上，. ---------------------------14分

注：在第（Ⅲ）問中，得到12后，可以在坐標平面aOb內(nèi)，用線性規(guī)劃方法解. 請相應(yīng)評分.

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