2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

 

第Ⅰ卷（選擇題）

 

一、選擇題：本大題共10小，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．復(fù)數(shù)z＝i＋i2＋i3＋i4的值是

　   A．－1　　           B．0　　               C．1　　               D．i

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2．函數(shù)f(x)＝的定義域是

　　A．－∞，0]　  B．[0，＋∞　   C．（－∞，0）　 D．（－∞，＋∞）

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3．已知數(shù)列{log2(an－1)}（n ∈N*）為等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝5，則

　　=

　　A．2　　              B．　　             C．1　　               D．

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4．已知點(diǎn)P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則z＝x－y的取值范圍是

A．[－2，－1]　  B．[－2，1]　     C．[－1，2]        D．[1，2]

A．　B．  C．　D．

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6．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2005(x)＝

　　A．sinx　              B．－sinx　           C．cosx　              D．－cosx

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7．已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為

　　A．30º　　           B．45º　　            C．60º　　            D．90º

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8．集合A＝｛x|＜0＝，B＝｛x || x -b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分條件， 則b的取值范圍是

　   A．－2≤b＜0　   B．0＜b≤2　       C．－3＜b＜－1　D．－1≤b＜2

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9．4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲．乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得100分，答錯(cuò)得－100分；選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得－90分.若4位同學(xué)的總分為0，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是

　　A．48　　            B．36　　             C．24　　             D．18

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10．設(shè)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，S△ABC表示△ABC的面積，λ1＝， λ2＝，λ3＝，定義f(P)=(λ1, λ, λ3),若G是△ABC的重心，f(Q)＝（，，），則       

       A．點(diǎn)Q在△GAB內(nèi)　                       B．點(diǎn)Q在△GBC內(nèi)　

       C．點(diǎn)Q在△GCA內(nèi)　                      D．點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合

第Ⅱ卷（非選擇題）

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二、填空題：本大題共5小題，每小題4分（第15小題每空2分），共20分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.

11．一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件，它們來(lái)自甲．乙．丙3條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，已知甲．乙．丙三條生產(chǎn)線抽取的個(gè)體數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了　　　   件產(chǎn)品.

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12．在（1＋x）＋（1＋x）2＋……＋（1＋x）6的展開(kāi)式中，x 2項(xiàng)的系數(shù)是　　　　.（用數(shù)字作答）

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13．已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝，則�。�　　　   .

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14．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，且存在反函數(shù)f－1(x)，f (4)＝0，則f－1(4)＝　    　.

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15．設(shè)函數(shù)f (x)的圖象與直線x =a，x =b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y＝sinnx在[0，]上的面積為（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面積為　　　；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面積為　　   　.

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三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

16．（本小題滿分12分）

       已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

 

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17．（本題滿分12分）

　�。á瘢┳C明：AC⊥BO1；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

 

 

 

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18．（本小題滿分14分）

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       某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值.

（Ⅰ）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）記“函數(shù)f(x)＝x2－3ξx＋1在區(qū)間[2，＋∞上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率.

 

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19．（本小題滿分14分）

　   已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)＝λ.

   （Ⅰ）證明：λ＝1－e2；

   （Ⅱ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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　　    自然狀態(tài)下的魚(yú)類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響. 用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c.

   （Ⅰ）求xn+1與xn的關(guān)系式；

   （Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明）

　 （Ⅱ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.

 

 

 

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21．（本小題滿分14分）

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    已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.

   （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

   （Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點(diǎn)P、Q，過(guò)線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1，C2于點(diǎn)M、N，證明C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.

 

 

2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）

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一、選擇題：1―5：BACCB   6―10： CDDBA

二、填空題：

11．5600   12．35  13．   14．－2   15．，  

三、解答題：

16．解法一  由

       得

       所以

       即

       因?yàn)樗�，從�?/p>

       由知 從而.

       由

       即

       由此得所以

解法二：由

       由、，所以

       即

       由得

       所以

       即            因?yàn)�，所�?/p>

 

       由從而，知B+2C=不合要求.

       再由，得  所以

17．解法一（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1.

       所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

       如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，），O1（0，0，）.從而所以AC⊥BO1.

（II）解：因?yàn)樗訠O1⊥OC，

由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量. 設(shè)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，

由    得.

設(shè)二面角O―AC―O1的大小為，由、的方向可知，>，

       所以cos，>=

       即二面角O―AC―O1的大小是

解法二（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1，

   所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

       即OA⊥OB. 從而AO⊥平面OBCO1，

       OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.

       因?yàn)?nbsp;   ，

       所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，從而OC⊥BO1

       由三垂線定理得AC⊥BO1.

（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.

       設(shè)OC∩O1B=E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于F，連結(jié)O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC

       內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC.

       所以∠O1FE是二面角O―AC―O1的平面角.

       由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1，

       所以，

       從而，    又O1E=OO1?sin30°=，

        所以  即二面角O―AC―O1的大小是

18．解：（I）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”

        為事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互獨(dú)立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，

       P（A3）=0.6.

       客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3. 相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取

       值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，3.

       P（=3）=P（A1?A2?A3）+ P（）

= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

1    

3  

P

0.76

0.24

 

       所以的分布列為

        E=1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）解法一  因?yàn)?/p>

所以函數(shù)上單調(diào)遞增，

要使上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)

從而

解法二：的可能取值為1，3.

當(dāng)=1時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，

當(dāng)=3時(shí)，函數(shù)上不單調(diào)遞增.0

所以

19．（Ⅰ）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是.

    所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）.    由

即

    證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是

所以      因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以 

即

   解得

   （Ⅱ）解法一：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即

    設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由

    得   所以

    即當(dāng)△PF1F­2­­為等腰三角形.

解法二：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，

則

由|PF1|=|F1F2|得

兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得  從而

于是.    即當(dāng)時(shí)，△PF1F2為等腰三角形.

20．解（I）從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為

   （II）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得

       

        因?yàn)?i>x1>0，所以a>b.

        猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變.

   （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*

         由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知

         0<xn<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.

        而x1∈(0, 2)，所以

        由此猜測(cè)b的最大允許值是1.

        下證 當(dāng)x1∈(0, 2) ，b=1時(shí)，都有xn∈(0, 2), n∈N*

        ①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0, 2),

則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk(2－xk­)>0.

又因?yàn)?i>xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,

所以xk+1∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.

由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).

綜上所述，為保證對(duì)任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.

21．解：（I），

則

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以<0有解.

又因?yàn)?i>x>0時(shí)，則ax2+2x－1>0有x>0的解.

①當(dāng)a>0時(shí)，y=ax2+2x－1為開(kāi)口向上的拋物線，ax2+2x－1>0總有x>0的解；

②當(dāng)a<0時(shí)，y=ax2+2x－1為開(kāi)口向下的拋物線，而ax2+2x－1>0總有x>0的解；

  則△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此時(shí)，－1<a<0.

  綜上所述，a的取值范圍為（－1，0）∪（0，+∞）.

   （II）證法一  設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（x1, y1），（x2, y2），0<x1<x2.

         則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為

         C1在點(diǎn)M處的切線斜率為

         C2在點(diǎn)N處的切線斜率為

         假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則k1=k2.

         即，則

                 =

       所以  設(shè)則①

       令則

       因?yàn)闀r(shí)，，所以在）上單調(diào)遞增. 故

       則. 這與①矛盾，假設(shè)不成立.

       故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.

證法二：同證法一得

       因?yàn)�，所�?/p>

       令，得  ②

       令

       因?yàn)椋詴r(shí)，

       故在[1，+上單調(diào)遞增.從而，即

       于是在[1，+上單調(diào)遞增.

       故即這與②矛盾，假設(shè)不成立.

       故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.

 


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