江蘇省南京市2009屆高三第一次調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）

  1、計(jì)算：=        。

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  2、若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則=       。

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 3、某人5 次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為，。已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則其方差為        。

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 4、已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，前三項(xiàng)的和為21 ，

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則        。

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 5、設(shè)是兩個(gè)集合，定義集合，若，

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，則        。

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6、根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為           。

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7、已知扇形的周長為，則該扇形面積的最大值為        。

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8、過橢圓的左頂點(diǎn)作斜率為的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為。若，則該橢圓的離心率為            。

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9、若方程在區(qū)間上有解，則所有滿足條件的的值的和為              。

 

 

 

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10、如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔、，燈塔位于燈塔的正南方向，海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔的北偏西方向，與相距海里的處；乙船位于燈塔B的北偏西方向，與相距5海里的處，則兩艘船之間的距離為

             海里。                                           

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11、如圖，在正三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，若截面是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為         。

 

 

 

 

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12、設(shè)：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；，如果“┐p”是正真命題，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是          。

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13、如圖，在正方形中，已知，為的中點(diǎn)，若為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則的最大值是        。         

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14、已知函數(shù)，，是其圖象上不同的兩點(diǎn).若直線的斜率總滿足，則實(shí)數(shù)的值是           。

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二、解答題

15、（本題滿分14分）

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     某學(xué)�；@球隊(duì)，羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)員，某些隊(duì)員不止參加了一支球隊(duì)，具體情況如圖所示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，求：

（1）      該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率；

（2）該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率

 

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16、（本題滿分14分）

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    如圖，在四棱錐中，底面中為菱形，，為的中點(diǎn)。

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（1）      若，求證：平面平面；

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（2）      點(diǎn)在線段上，，試確定實(shí)數(shù)的值，使得平面。

 

 

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17、（本題滿分14分）

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  已知函數(shù)。

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（1）      求函數(shù)在上的值域；

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（2）      在中，若，求的值。

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 18、（本題滿分16分）

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在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為5。

（1）      求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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（2）      設(shè)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若以為圓心的圓在軸上截得的弦長為，求證：

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   圓過定點(diǎn)。

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 19、（本題滿分16分）

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     設(shè)，函數(shù).

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(1)   當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;

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(2)   當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值.

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20、（本題滿分16分）

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  在數(shù)列中，已知，且，

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（1）      若數(shù)列為等差數(shù)列，求的值。

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（2）      求數(shù)列的前項(xiàng)和

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（3）      當(dāng)時(shí)，求證：

南京市2009屆高三第一次調(diào)研試

數(shù)學(xué)附加題

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21、選做題(在四小題中只能選做2題，每小題10分,共計(jì)2分)

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.選修：幾何證明選講

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 如圖，已知四邊形內(nèi)接于⊙O,,切⊙O于點(diǎn).求證：.

 

 

 

 

 

 

 

 

B.選修4-2：矩陣與變換

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   已知矩陣，。在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線 在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線，求曲線的方程。

C.選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程

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   已知直線和參數(shù)方程為 ,是橢圓上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值。

D．選修4-5：不等式選講

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  已知為正數(shù)，求證：.

 

 

 

 

必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。

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22．已知圓：，定點(diǎn)，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切。

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  （1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

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  （2）若過原點(diǎn)的直線與（1）中的曲線交于兩點(diǎn)，且的面積為，

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求直線的方程。

 

 

23已知：

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（1）當(dāng)時(shí)，求的值。

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（2）設(shè)，。試用數(shù)學(xué)歸納法證明：

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      當(dāng)時(shí)，

 

 

 

 

 

 

試題詳情

一、填空

1、；2、；3、；4、；5、；6、5；7、；8、；9、；

10、；11、；12、；13、；14、。

二、解答題

   1`5、（本題滿分14分）

解：（1）（設(shè)“該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的”為事件A，則事件A的概率

         

（2）設(shè)“該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的”為事件B，則事件B的概率為

答：（略）

16、（本題滿分14分）

解：（1）連，四邊形菱形   ，

  為的中點(diǎn)，

又

               ，

                   

（2）當(dāng)時(shí)，使得，連交于，交于，則為 的中點(diǎn)，又為邊上中線，為正三角形的中心，令菱形的邊長為，則，。

           

       

   即：   。

17、解：

（1）

          ，

       

        在區(qū)間上的值域?yàn)?sub>

     （2）    ，

                 

           ，

      

      

       

       

18、解：（1）依題意，得：，。

          拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

      （2）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為。

        圓心在軸上截得的弦長為

         

        圓心的方程為：

      從而變?yōu)椋?sub>      ①

對(duì)于任意的，方程①均成立。

故有：     解得：

      所以，圓過定點(diǎn)（2，0）。

19、解（1）當(dāng)時(shí)，

         令  得 所以切點(diǎn)為（1，2），切線的斜率為1，

      所以曲線在處的切線方程為：。

   （2）①當(dāng)時(shí)，，

      ，恒成立。 在上增函數(shù)。

故當(dāng)時(shí)，

②  當(dāng)時(shí)，，

（）

（i）當(dāng)即時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)

(ii)當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在間 時(shí)為正數(shù)。所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)

(iii)當(dāng)；即 時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，。

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在時(shí)和時(shí)的最小值都是。

所以此時(shí)的最小值為；當(dāng)時(shí)，在時(shí)的最小值為

，而，

所以此時(shí)的最小值為。

當(dāng)時(shí)，在時(shí)最小值為，在時(shí)的最小值為，

而，所以此時(shí)的最小值為

所以函數(shù)的最小值為

20、解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，，

     依題得：，對(duì)恒成立。

即：，對(duì)恒成立。

所以，即：或

，故的值為2。

（2）

   

  所以，

①     當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，。

  相乘得所以 當(dāng)也符合。

②     當(dāng)為偶數(shù)，且時(shí)，，

相乘得所以

，所以 。因此 ，當(dāng)時(shí)也符合。

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

  

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，

 

 

所以 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

南京市2009屆高三第一次調(diào)研試

數(shù)學(xué)附加題參考答案

 

21、選做題

     .選修：幾何證明選講

 證明：因?yàn)?sub>切⊙O于點(diǎn)，所以

       因?yàn)?sub>，所以

  又A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以 所以

 又，所以∽

所以   即

所以    即：

B.選修4-2：矩陣與變換

解:由題設(shè)得,設(shè)是直線上任意一點(diǎn),

點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)?sub>,

則有, 即 ,所以

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,從而,即：

所以曲線的方程為 

C.選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程

解： 直線的參數(shù)方程為 為參數(shù)）故直線的普通方程為

   因?yàn)?sub>為橢圓上任意點(diǎn)，故可設(shè)其中。

  因此點(diǎn)到直線的距離是

所以當(dāng)，時(shí)，取得最大值。

D．選修4-5：不等式選講

證明：，所以 

      

必做題：第22題、第23題每題10分，共20分。

22、解：（1）設(shè)圓的半徑為。

         因?yàn)閳A與圓，所以

         所以，即：

        所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓且設(shè)橢圓方程為其中 ，所以

      所以曲線的方程

    （2）因?yàn)橹本�過橢圓的中心，由橢圓的對(duì)稱性可知，

        因?yàn)?sub>，所以。

       不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，則。

所以，，即：點(diǎn)的坐標(biāo)為或

所以直線的斜率為，故所求直線方和程為

23、（1）當(dāng)

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