某行星的一顆小衛(wèi)星,在半徑是R的圓周軌道上繞該行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的周期是T,已知萬(wàn)有引力常量G.求:
(1)衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度大小v;
(2)該行星的質(zhì)量M.
(3)若該衛(wèi)星在不受除引力以外任何力的作用情況下自動(dòng)分為兩部分,其質(zhì)量之比為1:2問(wèn):這兩部分各自運(yùn)行的速率之比是多少?運(yùn)行的軌道半徑之比是多少?(寫(xiě)清原因)
分析:(1)根據(jù)線(xiàn)速度的定義與周期的含義直接求解即可;
(2)根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力,求中心天體的質(zhì)量M;
(3)衛(wèi)星在分離前后只受行星引力作用而不受其它力作用,故衛(wèi)星分離前后速率不變,軌道半徑相同.
解答:解:(1)線(xiàn)速度等于衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)與時(shí)間的比值,即:
v=
l
t
=
2πR
T

(2)設(shè)小衛(wèi)星的質(zhì)量為m,根據(jù)萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)向心力有:
G
mM
R2
=mR(
T
)2

可得行星的質(zhì)量M=
4π2R3
GT2

(3)因分離過(guò)程中衛(wèi)星不受其它力的作用,分開(kāi)前后的速率不變,故有:
v1
v2
=
1
1

又因?yàn)榉珠_(kāi)前后衛(wèi)星的速率保持不變,故其軌道半徑亦保持不變,即有:
r1:r2=1:1
答:(1)衛(wèi)星繞行的線(xiàn)速度v=
2πR
T

(2)該行星的質(zhì)量M=
4π2R3
GT2

(3)分開(kāi)后衛(wèi)星的速率之比為
v1
v2
=
1
1
,軌道半徑之比為r1:r2=1:1
點(diǎn)評(píng):掌握線(xiàn)速度與周期的關(guān)系,能根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力是解決本題的關(guān)鍵.
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某行星的一顆小衛(wèi)星在半徑為r的圓軌道上繞行星運(yùn)動(dòng),運(yùn)行的周期是T.已知引力常量為G,這個(gè)行星的質(zhì)量M=
4π2r3
GT2
4π2r3
GT2

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