Question

2．如圖所示，質(zhì)量為m的足夠長(zhǎng)的“[”金屬導(dǎo)軌abcd放在傾角為θ的光滑絕緣斜面上，bc段電阻為R，其余段電阻不計(jì)．另一電阻為R、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒PQ放置在導(dǎo)軌上，始終與導(dǎo)軌接觸良好，PbcQ構(gòu)成矩形．棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，棒左側(cè)有兩個(gè)固定于斜面的光滑立柱．導(dǎo)軌bc段長(zhǎng)為L(zhǎng)，以ef為界，其左側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直斜面向上，右側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向沿斜面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．在t=0時(shí)，一沿斜面方向的作用力F垂直作用在導(dǎo)軌的bc邊上，使導(dǎo)軌由靜止開(kāi)始沿斜面向下做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度為a．
（1）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算證明開(kāi)始一段時(shí)間內(nèi)PQ中的電流隨時(shí)間均勻增大．
（2）求在電流隨時(shí)間均勻增大的時(shí)間內(nèi)棒PQ橫截面內(nèi)通過(guò)的電量q和導(dǎo)軌機(jī)械能的變化量△E．
（3）請(qǐng)?jiān)贔-t圖上定性地畫(huà)出電流隨時(shí)間均勻增大的過(guò)程中作用力F隨時(shí)間t變化的可能關(guān)系圖，并寫(xiě)出相應(yīng)的條件．（以沿斜面向下為正方向）

Answer 1

分析 （1）由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=BLv和閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的表達(dá)式，再進(jìn)行分析．
（2）通過(guò)棒PQ橫截面的電量q=$\overline{I}$t，由于電流均勻增大，平均電流等于初、末電流的平均值．根據(jù)能量守恒求導(dǎo)軌機(jī)械能的變化量△E．
（3）分三種情況分析：若a≥gsinθ-μgcosθ，則F始終向下，且隨時(shí)間均勻增大；②若a≤gsinθ-gcosθ，則F始終向上，且隨時(shí)間均勻減�。╰_m時(shí)F仍向上或?yàn)榱悖�；③若gsinθ-gcosθ＜a＜gsinθ-μgcosθ，則F先向上逐漸減小，后向下逐漸增大．再畫(huà)圖．

解答 解：（1）根據(jù)歐姆定律得PQ中的電流為：I=$\frac{BLv}{2R}$=$\frac{BLat}{2R}$
因?yàn)?\frac{BLa}{2R}$是常數(shù)，所以I∝t，即電流隨時(shí)間均勻增大．
（2）當(dāng)PQ受到的安培力大于mgcosθ時(shí)，PQ會(huì)離開(kāi)斜面，電路不再閉合，回路中會(huì)短時(shí)無(wú)電流．
F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{m}}{2R}$=mgcosθ
即：t_m=$\frac{2mgRcosθ}{{B}^{2}{L}^{2}a}$
通過(guò)棒PQ橫截面的電量為：
q=$\overline{I}{t}_{m}$=$\frac{1}{2}×\frac{BLa{t}_{m}}{2R}$•t_m=$\frac{BLa{t}_{m}^{2}}{4R}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rco{s}^{2}θ}{{B}^{3}{L}^{3}a}$
由能量守恒得導(dǎo)軌機(jī)械能的變化量為：
△E=$\frac{1}{2}$mv²-mgh=$\frac{1}{2}$mat_m²（a-gsinθ）=$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}co{s}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}a}$（a-gsinθ）
（3）①若a≥gsinθ-μgcosθ，則F始終向下，且隨時(shí)間均勻增大；
②若a≤gsinθ-gcosθ，則F始終向上，且隨時(shí)間均勻減�。╰_m時(shí)F仍向上或?yàn)榱悖��?br />③若gsinθ-gcosθ＜a＜gsinθ-μgcosθ，則F先向上逐漸減小，后向下逐漸增大．
故畫(huà)出作用力F隨時(shí)間t的可能圖象如圖．

答：（1）證明見(jiàn)上．
（2）在電流隨時(shí)間均勻增大的時(shí)間內(nèi)棒PQ橫截面內(nèi)通過(guò)的電量q是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rco{s}^{2}θ}{{B}^{3}{L}^{3}a}$，導(dǎo)軌機(jī)械能的變化量△E是$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}co{s}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}a}$（a-gsinθ）．
（3））①若a≥gsinθ-μgcosθ，則F始終向下，且隨時(shí)間均勻增大；②若a≤gsinθ-gcosθ，則F始終向上，且隨時(shí)間均勻減�。╰_m時(shí)F仍向上或?yàn)榱悖�；③若gsinθ-gcosθ＜a＜gsinθ-μgcosθ，則F先向上逐漸減小，后向下逐漸增大．故畫(huà)出作用力F隨時(shí)間t的可能圖象如圖．

點(diǎn)評(píng) 由電磁感應(yīng)規(guī)律得到感應(yīng)電流與時(shí)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，并要正確分析導(dǎo)軌的受力情況，判斷其運(yùn)動(dòng)情況．